Einführung in die Geschichte
1903 in München. Ein 50-jähriger Mathematiker mit Halbglatze, prominentem Bart und Brille macht sich an die Arbeit. Er hat sich vorgenommen, ein berühmtes französisches Buch ins Deutsche zu übersetzen: La Science et l’Hypothèse von Henri Poincaré, oder auf Deutsch Wissenschaft und Hypothese. Und dieses Buch ist schon auch ein Stück Wissenschaftskommunikationsgeschichte und macht den sowieso schon anerkannten Autor Poincaré auch über wissenschaftliche Kreise berühmt. Denn das Buch richtet sich an die allgemeine Öffentlichkeit, ist also eher populärwissenschaftlich und fasst den Status quo in der Mathematik und Physik zusammen.
Es ist eben die deutsche Übersetzung dieses Buches, die erste deutsche Übersetzung, die ein gewisser Albert Einstein mal lesen würde und als Inspiration für seine wichtigsten wissenschaftlichen Arbeiten dienen würde. Hier sitzt nun also ein deutscher Mathematiker und macht sich an die Übersetzung dieses Werkes. Und wie damals üblich, fügt er eine lange Reihe an Fußnoten mit Bemerkungen, Erläuterungen, aber auch persönlichen Geschichten und Meinungen hinzu.
Die Anekdote von Ferdinand von Lindemann
Und schon auf den ersten Seiten liest er ein paar Worte, die ihn an eine persönliche Anekdote erinnern. Das ist die Geschichte von Ferdinand von Lindemann. Und damit sage ich: Hallo und herzlich willkommen zu einer neuen Folge von Geschichten aus der Mathematik. Mein Name ist Rebea Schlotz, ich bin eure Host und ich begrüße natürlich ganz herzlich auch Manon Bischoff und Demian Nawel Gos, unsere Expertinnen für die Geschichte und die Mathematik. Hi, ihr zwei!
Hallo! Hallo! Ich bin Rebea. Alles klar bei dir? Na klar! Ich hoffe, bei euch auch? Ja, natürlich! Perfekt! Dann würde ich sagen, starten wir einfach mal in unsere heutige Geschichte.
Der Schatz im Südpazifik
Und jetzt würde ich euch einfach mal alle bitten, an den Kopfhörern. Stellt euch also mal vor: Seit hunderten Jahren schon suchen Menschen nach einem großen Schatz, der angeblich auf einer Insel im Südpazifik versteckt sein soll. Es ranken sich zahlreiche Mythen um diesen Schatz. Von Generation zu Generation werden sie weitergetragen. Die Leute suchen und suchen, reisen übers Meer, graben ganze Inseln um und irgendwann kommt jemand daher und sagt: „Sorry, war nur ein kleiner Scherz, der Schatz war nur erfunden.“ Und alle, die ihre Zeit, ihre Mühe und ihr Geld geopfert haben, um diesen Schatz zu finden, schauen ganz schön in die Röhre. Ziemlich enttäuschend, oder?
Ein bisschen ist es so auch mit unserer heutigen Geschichte aus der Mathematik. Die hat ihren Ursprung im Grunde schon vor 2400 Jahren in der Antike. Damals war es in geometrischen Fragestellungen mit Zirkel und Lineal zu lösen. Und was jetzt erstmal relativ simpel klingt, also einfach nach ein bisschen Rumwühlen, ist ehrlich gesagt ein ganz schöner mathematischer Brocken.
Die drei Probleme der Antike
Und zwar können die hellen Köpfe der damaligen Zeit mit ihrem Lineal und ihrem Zirkel schon viel herausfinden. An drei Problemen aber beißen sie sich die Zähne aus. Da ist die Dreiteilung eines Winkels, die Verdopplung eines Würfels und die Quadratur des Kreises. Einsatz, Manon, erklär uns doch mal, was es mit diesen Problemen auf sich hat. Fangen wir mal an mit der Dreiteilung eines Winkels. Was ist da los?
Also die Dreiteilung eines Winkels ist eigentlich genau das, wonach es klingt. Also dir wird ein Winkel vorgegeben und du sollst ihn in drei gleich große Teile aufteilen. Also da ist ein Mathematiker in der Antike und der hat ein Viertelkuchen. Wir reden hier ja gerne über Gebäck. Und daraus soll er bitte drei exakt gleich große Teile machen. Also wirklich exakt gleich groß.
Und dann nimmt er halt so sein Geodreieck, misst den Winkel aus, also bei einem Winkel von 70 Grad. Und dann teilt er das durch drei und mithilfe des Geodreiecks markiert er sich die Schnitte und dann gibt es halt Kuchen. Klingt jetzt erstmal nicht so mega kompliziert, oder? Ja, so ist es auf jeden Fall einfach. Aber du darfst dir dafür halt echt nur ein unmarkiertes Lineal, einen Zirkel und einen Stift nehmen.
Die Schwierigkeiten der Antike
Ist ein unmarkiertes Lineal nicht einfach nur ein Stock? Ja, im Grunde ja. Also es ist wirklich nur ein Hilfsmittel, das dir hilft, eine gerade Linie zu ziehen und damit die halt nicht so krumm ist. Und dadurch wird das Problem halt um einiges komplizierter. Und daran verzweifeln dann halt auch die damaligen Gelehrten. Also eine Lösung auf diese Frage finden sie halt nicht.
Und beim zweiten Problem geht es darum, aus einem vorgegebenen Würfel einen doppelt so großen zu konstruieren. Also damit ist gemeint, einen neuen Würfel zu machen mit dem doppelten Volumen von dem vorherigen. Also ein Würfel hat ja dieselbe Länge, Höhe und Breite. Das heißt, ich muss dann eben einen neuen Würfel finden, der aber eben das Doppelte an Volumen hat. Und ich habe wieder nur meinen Stock und einen Stift.
Ja, genau. Und einen Zirkel hast du auch noch. Achso, ja. Ja, aber die Schwierigkeit besteht halt wirklich darin, die korrekte Seitenlänge zu finden. Und wieder darfst du es halt nur damit machen. Also du hast keinen Taschenrechner, du hast kein markiertes Lineal.
Die Unmöglichkeit der Konstruktion
Warum muss dieses Lineal denn unbeschriftet sein? Ich meine, kann ich nicht einfach eins nehmen, wo schon Zahlen draufstehen? Ich habe das Gefühl, das würde diese Problematik um einiges erleichtern. Auf jeden Fall! Also ich könnte ja dann auch einfach so ganz krumme Distanzen einfach abmessen. Also einfach ist auch schwierig. Wenn ich jetzt irgendwie hier die Wurzel aus zwei abmessen möchte, klappt das nicht so gut.
Und genau das soll halt eben nicht der Fall sein. Also du sollst wirklich aus den vorgegebenen Längen, die du in dem Problem hast, exakt eine Dreiteilung zum Beispiel machen können oder exakt eine Verdopplung von einem Würfel, ohne das jetzt irgendwie seltsam abmessen zu müssen und dann am Ende vielleicht ein nicht ganz exaktes Ergebnis zu bekommen. Das scheint mir ehrlich gesagt ein bisschen unnötig kompliziert.
Auf jeden Fall ist es ziemlich knifflig, aber erst mal deswegen auch nicht lösbar für die WissenschaftlerInnen von damals. Und dann haben wir auch noch Problem Nummer drei: die Quadratur des Kreises. Worum geht es denn da? Ja, also das ist ja mittlerweile zum Sinnbild eines unlösbaren Problems geworden. Hier geht es darum, also du hast einen Kreis vorgegeben und du sollst daraus ein Quadrat konstruieren, das genau dieselbe Fläche hat. Und wieder halt nur mit dem mickrigen Equipment, was wir eben genannt haben.
Berühmtheit der Probleme
Die Probleme sind natürlich deswegen so berühmt, weil man sie eben lange Zeit nicht lösen konnte. Nach und nach haben die Gelehrten für viele solcher Knobelaufgaben eine Antwort gefunden, nur eben für diese drei nicht. Zwei der Probleme wurden erst 2000 Jahre später gelöst. Interessanterweise hat man dafür nicht moderne Geometrie benutzt, sondern moderne Algebra, Algebra, die es halt vor 2000 Jahren nicht gab.
An einem Problem verzweifelt aber die Mathe-Community an der Quadratur des Kreises. Und es ist wirklich nicht so, als hätten sie es nicht versucht. Also Archimedes versucht sich schon 200 Jahre vor Christus an dem Problem. Leonardo da Vinci fertigt im 15. Jahrhundert geometrische Studien an zur Quadratur des Kreises. René Descartes untersucht knapp 200 Jahre später das Problem mit den Methoden der neu entstehenden analytischen Geometrie. Isaac Newton befasst sich mit Methoden zur Berechnung von Pi und verwandten geometrischen Fragen. Und Leonhard Euler versucht sich ebenfalls dran. Und alle scheitern.
Also da sieht man schon mal, das ist schon ein ordentlicher Brocken Mathematik. Ja, oder sie waren alle halt nicht gut genug. Oder? Nee, Spaß beiseite. Das Problem ist halt eben wirklich so schwer zu knacken, dass bald daraus eine richtige Metapher wird, die ich würde mal sagen, heute auch im gängigen Sprachgebrauch verwendet wird. Also wenn man vor einem unlösbaren Problem steht, redet man ja auch von der Quadratur des Kreises, nicht wahr?
Der Einfluss von Ferdinand von Lindemann
Ich muss tatsächlich sagen, dass ich das noch nie gehört habe. Aber vielleicht habe ich keine unlösbaren Probleme, sondern ich finde einfach für alles eine Lösung. Und deswegen kenne ich dieses Sprichwort nicht. Das Einzige, was ich tatsächlich mit der Quadratur des Kreises bisher verbunden habe, das ist ein Freundeskreis-Album. Das heißt nämlich auch so, das glaube ich, aus den späten 90ern oder so. Und ich bin mir aber ziemlich sicher, dass die von Freundeskreis sich nicht wirklich mit dem gleichnamigen Mathe-Problem beschäftigt haben.
Im Gegensatz zu unserem heutigen Protagonisten Ferdinand von Lindemann. Ferdinand von Lindemann wird am 12. April 1852 in Hannover geboren und kommt aus einer Familie der Mittelschicht. Geboren wird er übrigens auch als Karl Louis Ferdinand Lindemann. Von einem von ist er noch lange nicht die Rede. Erst später wird er zum Ritter ernannt und trägt fortan den Namen Ritter von Lindemann.
Der Vater von Lindemann galt als sehr kultiviert und beginnt schon früh, den kleinen Sohn zu fördern. Er ist nämlich ziemlich enttäuscht vom Niveau an der Schule von Lindemann. Er übernimmt also viel Unterricht selbst, darunter auch fortgeschrittene Algebra und, aufgepasst, geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal.
Lindemanns Studium und Dissertation
Sind auf dem Lineal Zahlen drauf oder ist das verboten? Nein, aber gut, nach der Schule beginnt von Lindemann schließlich so um 1870 sein Studium der Mathematik in Göttingen und promoviert schließlich drei Jahre später in Erlangen. Ich muss sagen, ich bin total über diese drei Jahre gescholpert, als du mir das im Vorfeld gesagt hast. Und ich habe das ehrlich erstmal gegoogelt, ob du mir da auch keinen Quatsch erzählst.
Denn mir ist schon klar, dass man früher ein bisschen zügiger studiert hat und alles nicht so starr war wie heute und man deswegen auch früher promovieren konnte. Aber drei Jahre zwischen dem ersten Semester und der Promotion sind selbst für damalige Verhältnisse echt super wenig Zeit. Und seine Dissertation schreibt von Lindemann übrigens, ich zitiere: „Über unendlich kleine Bewegungen und Kraftsysteme bei allgemeiner projektivistischer Maßbestimmung.“
Und sein Doktorvater, der ist Felix Klein, ein weiterer großer Mathematiker dieser Zeit. Natürlich über den haben wir auch eine Folge gemacht. Und Felix Klein ist übrigens nach der Promotion weiterhin ein Förderer der Arbeit von von Lindemann. Sein ehemaliger Schüler tritt dann auch ziemlich rasch in Kleins Fußstapfen und wird selbst Dozent an der Uni.
Lindemanns Beliebtheit als Dozent
In dieser Zeit zeigt sich, dass Lindemann nicht nur die Mathematik liegt, sondern auch das Beibringen von Mathematik. Seine Vorlesungen sind bei den Studis unfassbar beliebt. Ganz oft hat von Lindemann während der Vorlesung einen Geistesblitz und bricht dann den natürlichen Verlauf der Vorlesung um dieser Inspiration zu folgen. Diese Momente finden seine Studis unglaublich inspirierend.
Ich habe hier ein Zitat von einem seiner Studierenden: „Lindemann denkt ja in einer Minute mehr Geometrie als ich im ganzen Semester begreifen könnte.“ Ich finde, das ist ein richtig schöner Satz irgendwie. Worüber denkt von Lindemann denn in der Zeit damals so nach?
Lindemann und die Transzendenz
Also zu dieser Zeit gibt es eine Arbeit, die absolut in ist, und zwar von einem französischen Mathematiker, Charles Hermite. Das ist ein renommierter Wissenschaftler, den von Lindemann in Paris auch besucht. Die beiden tauschen sich aus und darunter vor allem geht es um die Transzendenz von E. Das ist damals ein echt großes Thema in der Mathe-Community.
Okay, und hier jetzt mal von meiner Seite ein kleiner Einschub zur Transzendenz in der Mathematik. Und keine Angst, das ist jetzt nichts Esoterisches oder so, auch wenn der Name das irgendwie so nahelegt. Ich hatte da tatsächlich vollstes Vertrauen in euch. Von daher schießt los!
Also um das Konzept zu erklären, machen wir mal einen kleinen Schritt zurück zu Zahlen im Allgemeinen. Das gefällt mir, Zahlen kenne ich. Genau, also in der Schule lernen wir ja die ganzen Zahlen kennen, also sowas wie 1, 2, 3. Dann gibt es natürlich noch die Bruchzahlen, also sowas wie ein Viertel, zwei Siebtel, irgendwie sowas. Und dann kommen in höheren Klassenstufen auch noch die irrationalen Zahlen dazu, also sowas wie Wurzel aus 2 oder Pi oder eben die Eulersche Zahl E.
Irrationale Zahlen und ihre Eigenschaften
Und die zeichnen sich ja dadurch aus, dass sie unendlich viele Nachkommastellen haben, aber sie sind nicht periodisch. Also es gibt jetzt kein regelmäßiges sich wiederholendes Muster wie 0, 13, 13, 13 oder so. Ja, genau. Also Pi zum Beispiel 3, 14, 159 und so weiter. Wie viele Stellen kannst du denn auswendig für die Pi? Ich habe befürchtet, dass die Frage kommt. Ich habe so viele Artikel dazu geschrieben und tatsächlich habe ich einfach nur aus dem Kopf alle aufgeschrieben, die ich kann, und das sind halt einfach nur fünf Nachkommastellen.
Okay, auf jeden Fall. Ich wusste nur 3, 14. Siehst du? Okay, ein bisschen weiter. Demian, kannst du das toppen? Ich weiß, dass so um die 22 Billionen Nachkommastellen von Pi bekannt sind, aber die… Aber kennst du sie auch alle? Ja, genau. Also die Zahlen kenne ich halt nur nicht in der richtigen Reihenfolge. Okay, gute Antwort. Hätte ich auch ah so hätte ich mich auch eher rausreden sollen.
Algebraische und transzendente Zahlen
Okay, also Pi hat unendlich viele Ziffern hinter dem Komma, ohne dass sie sich halt irgendwie regelmäßig wiederholen. Deswegen hat Demian natürlich recht, sie wiederholen sich, aber genau nicht in einem regelmäßigen Muster. Und tatsächlich gibt es zwei verschiedene Arten von irrationalen Zahlen und da kommen jetzt die Begriffe rein, die Demian eben vorgestellt hat. Also es gibt die algebraischen und die transzendenten irrationalen Zahlen.
Wo ist der Unterschied? Also algebraische Zahlen sind solche, die sich durch eine algebraische Gleichung ergeben. Also ein typisches Beispiel für sowas ist die Wurzel aus 2. Die ergibt sich nämlich als Lösung der Gleichung x hoch 2 ist gleich 2. Also du meinst, wenn ich diese Gleichung danach x auflöse, dann ist das Ergebnis Wurzel 2? Genau.
Und das Gleiche gilt halt auch für Zahlen wie die Wurzel aus 3. Also da kann ich ja die Gleichung x² gleich 3 halt einfach dazu bilden. Und es gilt aber auch für etwas kompliziertere Zahlen wie der goldene Schnitt. Also der goldene Schnitt ist ja so eine besondere Art, so eine Strecke zu teilen. Also der längere Teil soll im gleichen Verhältnis zum kürzeren Teil stehen wie die ganze Strecke zum längeren Teil.
Der goldene Schnitt und seine Bedeutung
Und da entsteht dann irgendwie so ein Verhältnis von etwa 1 zu 6 zu 1. Und das empfinden eben viele Menschen als besonders ausgewogen oder harmonisch. Also man kennt es ja vielleicht aus der Kunst oder aus der Architektur oder wenn man ein Foto macht, dass man irgendwie guckt, dass das Motiv irgendwie an einer bestimmten Position ist, damit das Bild irgendwie besonders harmonisch aussieht. Aber ich glaube, ich schweife ab. Was sind denn im Gegensatz dazu transzendente Zahlen?
Ja, also das sind Zahlen wie die Eulersche Zahl e oder pi. Wow, wow! Spoiler, Manon! Was geht? Hast du jetzt schon den ganzen Plot unserer Folge verraten? Ähm, streicht das aus eurem Gedächtnis! Du hast mich gehört! Also e haben wir, genau, die Eulersche Zahl. Die kann man ja eben nicht als Lösung von einer algebraischen Gleichung hinschreiben.
Der Beweis der Transzendenz
Also wenn ich jetzt eine algebraische Gleichung habe, sagen wir sowas wie x hoch 5 plus 2 Drittel x hoch 2 plus 6 gleich 0, dann kann ich das nach x auflösen im Kopf. Klar! Und dann bekomme ich ein Ergebnis und das ist eben eine algebraische Zahl. Die zugrunde liegende Gleichung, die kann halt super kompliziert und lang sein. Also ich habe jetzt was mit x hoch 5, könnte aber auch x hoch 100, x hoch 1000, sonst irgendwas sein. Die Lösung wird stets algebraisch sein.
Und wenn ich jetzt beweisen möchte, dass so eine Zahl wie die Eulersche Zahl transzendent ist, dann muss ich halt beweisen, dass es keine algebraische Gleichung gibt, deren Lösung e ist. Das klingt ehrlich gesagt unfassbar schwierig, aber leihenhaft kann man das vielleicht so sagen: Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die so kompliziert ist, in Anführungsstrichen, dass sie nicht einfach als Lösung irgendeiner gewöhnlichen algebraischen Gleichung dargestellt werden kann.
Der Beweis von Lindemann
Und egal wie geschickt man die Zahlen potenziert, multipliziert oder addiert, man kann keine solche Gleichung ausstellen, deren Lösung genau diese Zahl ist. Aber wie beweist man denn endgültig, dass es etwas nicht gibt? Also nur weil ich noch nie ein Einhorn gesehen habe, ist es ja noch lange kein Beweis dafür, dass es keins gibt. Ja, es ist schwierig. Also es gibt unendlich viele verschiedene algebraische Gleichungen. Und deswegen ist halt so ein Beweis natürlich durchaus kompliziert.
Aber um an Demians Geschichte anzuknüpfen, er kann das beweisen, zumindest das Prinzip. Also er beweist, dass es Zahlen gibt, die außerhalb der Reichweite der Algebra liegen. Und das ist halt was völlig Neues damals. Und deswegen auch kein Wunder, dass die Entdeckung von der Transzendenz damals echt für Furore sorgt. Auch weil transzendente Zahlen schwer zu fassen sind. Es ist unglaublich schwierig, sich diese Zahlen vorzustellen. Und es ist auch heute noch, würde ich sagen, sehr schwierig zu beweisen, dass eine Zahl überhaupt transzendent ist. Damit tun sich viele schwer.
Lindemanns Geistesblitz
Von Lindemann aber schreckt das nicht ab. Seit seinem Treffen mit Hermite denkt er viel über transzendente Zahlen nach. Auch am 14. April 1882. Damals ist von Lindemann als Professor in Freiburg tätig. Und es ist ein schöner Tag und so macht er einen Spaziergang, wie er sie eben gerne auch alleine macht. Und er genießt das Wetter und denkt eben so über die Mathematik nach, was man halt so tut als Mathematik-Professor.
Und wenige Tage zuvor hat er ja in seinem Büro Hermites altes Papier zur Transzendenz von E gefunden. Und das schwebt ihm jetzt so ein bisschen im Kopf rum. Und dann hat er komplett aus dem Nichts so einen Geistesblitz. Er denkt sich: e hoch Pi mal i gleich minus 1. Klar, den Gedanken hatte ich auch sofort! Absolut! Was man so halt denkt.
Die berühmteste Formel der Mathematik
Man muss dazu sagen, das ist ja sowas wie die berühmteste Formel der Mathematik. Also hast du schon mal von ihr gehört, Rabea? Ja, tatsächlich habe ich nämlich hier innerhalb der Redaktion das Erdös-Skript abgenommen zur Schönheit der Mathematik. Und da habt ihr ja gesagt, dass das irgendwie so eine mega schöne Formel ist, was ich natürlich auch sofort gesehen habe. Und deswegen ist mir die natürlich im Gedächtnis geblieben.
Ja, also was dir mit Sicherheit aufgefallen ist, ist, dass die schön kurz ist. Das macht schon mal die Eleganz auch aus. Und nicht allzu kompliziert. Also ist jetzt nicht irgendeine absurd große Zahl drin oder auch keine Bruchzahl oder so. Und die verbindet halt mathematische Konstanten miteinander. Und zwar auf einfache Art und Weise. Deswegen findet man die so schön.
Die Verbindung von Konstanten
Und die verbindet ja irgendwie auch so drei ganz nette Sachen, sage ich mal. Nämlich die Eulersche Zahl E, die haben wir jetzt schon ein paar Mal gehört, die Kreiszahl Pi, also 3, 14 irgendwas. Und was ist nochmal i? Das ist die imaginäre Einheit, also die Wurzel aus Minus 1. Aber man darf doch gar keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen! Das ist noch mit eine der Sachen, die mir 15 Jahre nach meinem Abitur immer noch im Kopf geblieben sind. Man darf keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen.
Ja, darf man halt doch! Und das ist genau, deswegen ist diese Zahl halt auch so cool. Also es hat irgendwie so was Rebellisches. Okay, und auf jeden Fall ist e hoch i Pi gleich minus 1 auch zur Zeit von Lindemann halt schon eine super berühmte Formel. Gut, also dann ist es ja vielleicht doch jetzt gar nicht so super überraschend, dass er plötzlich an diese Formel denkt.
Lindemanns Entdeckung
Also was geht denn da gerade bei von Lindemann ab, Demian? Also von Lindemann will seine Gedanken schnell festhalten und macht sich deswegen an seinen Schreibtisch. Dort schreibt er alles nieder. Sein Titel: Über die Zahl Pi. Von Lindemann bemerkt nämlich hier eben, dass Hermites Paper über diese Transzendenz von E in Kombination mit dieser berühmten Formel e hoch Pi mal i gleich minus 1 den Beweis der Transzendenz von Pi liefert.
Okay, da muss ich irgendwie mal ganz kurz nachhaken, denn dass Pi eine transzendente Zahl ist, das hat man auch eben schon gespoilert. Aber heute ist das ja tatsächlich Common Knowledge, unter anderem auch dank von Lindemann. Aber wie kommt man denn auf diese Idee? Also was ist die Mathematik hinter diesem Gedanken?
Lindemanns Beweis und seine Bedeutung
Also von Lindemann führt vorher einen Beweis und zwar, dass wenn ich e hoch irgendeine Zahl A habe, dann ist dieses Ergebnis transzendent, solange A algebraisch ist. Also das heißt, wenn ich e hoch Wurzel 2 habe, dann ist das Ergebnis eine transzendente Zahl. Jetzt ist es aber so, dass e hoch i Pi gleich minus 1 ist und minus 1 ist eine algebraische Zahl. i ist ja auch eine algebraische Zahl, das heißt, Pi muss transzendent sein, wenn er das quasi so ableiten kann, weil er einfach nur über dieses Paper nachdenkt und das dann mit dieser ziemlich bekannten Formel verbindet.
Die Skepsis der Mathematik-Community
Wieso ist denn dann der Hermite nicht drauf gekommen? Also die Formel ist ja jetzt nicht irgendwie ein Geheimtipp unter Mathematikern gewesen. Das ist eine gute Frage, tatsächlich die sich auch damals die Mathe-Community gestellt hat. Von Lindemann will sein Paper veröffentlichen. Dafür müssen aber erst einmal ein paar seiner Kollegen draufschauen. Peer Review nennt sich das. Das war auch damals schon so.
Und da ist erst einmal Felix Klein, also von Lindemanns Doktorvater, der ist halt der Herausgeber der mathematischen Analen, die mathematische Zeitschrift, wo von Lindemann veröffentlichen wird. Und deswegen schaut halt Klein natürlich erst einmal drauf. Und als er dieses Manuskript bekommt, scheint er sich aber nicht so sicher zu sein, ob alles mit rechten Dingen zugeht.
Die Unsicherheit der Kollegen
Klein kommentiert nämlich absolut nichts zu diesem Manuskript in seinem persönlichen Tagebuch, wie es normalerweise damals so tat. Stattdessen schickt er es aber weiter an andere Kollegen wie Georg Cantor und Karl Weierstraß. Niemand findet einen Fehler, aber so richtig traut sich niemand wirklich, den Beweis so abzusegnen. Es scheint so, als würde niemand wirklich glauben können, dass ihm dieses Meisterstück gelingen könnte.
Alle suchen wie von einem Fehler. Traut man es von Lindemann nicht zu, dass er darauf kommt, oder wo ist irgendwie das Problem? Ich finde es irgendwie ein bisschen fies. Absolut! Also ein Grund, warum das so war, ist eben dieser Beweis selbst. Also es ist wirklich nur der Beweis von Hermite kombiniert mit einer super bekannten Formel.
Lindemanns Ruhm und die Quadratur des Kreises
Und alle fragen sich halt anfangs, wie du auch schon gesagt hast, wäre Hermite selber nicht drauf gekommen, wenn es stimmt? Aber ja, es stimmt tatsächlich. Lustigerweise gibt es Historiker, die es heute bedauern, dass Hermite selbst nicht drauf gekommen ist. Ja, Hermite wahrscheinlich auch. Nee, der hat ganz brav gratuliert. Aber er hat ja halt die Schwerstarbeit geleistet.
Und viele hätten es auch heute noch lieber gehabt, wenn er den Ruhm für diesen Beweis bekommt und nicht der eher unbekannte von Lindemann. Ich finde es irgendwie schon so ein bisschen unfair, oder? Also ich meine, wenn es so super eindeutig war, dann hätte Hermite ja auch irgendwie drauf kommen können. Oder dann hätten ja vielleicht auch die ganzen Kritiker in den Front von Lindemann auch mal drauf kommen können, wenn es ja so offensichtlich ist. Ja, selbst blöd, ne?
Ich finde es auch unfair. Denn von Lindemann ist es insgesamt eher unbekannt, vor allem wenn man die Namen seiner Zeit so hört. Aber sein Beweis ist eine wirklich richtige Leistung zu seiner Zeit. Später wird sein Paper dann auch wirklich veröffentlicht und von Lindemann sogar dafür ausgezeichnet.
Fazit: Der Schatz existiert nicht
Und diese Leistung von von Lindemann ist aber nicht nur so spannend, weil sie eben beweist, dass Pi eine transzendente Zahl ist. Darüber haben wir eben schon gesprochen. Sondern auch, weil er damit gleich noch das Rätsel um die Quadratur des Kreises löst. Darüber haben wir ganz zu Beginn unserer Folge schon mal gesprochen. Manu, du hast vorhin schon ein bisschen was darüber erzählt.
Es geht eben darum, aus einem vorgegebenen Kreis nur mithilfe eines unbeschrifteten Lineals und eines Zirkels ein Quadrat zu konstruieren, das denselben Flächeninhalt wie der Kreis hat. Genau, seit der Antike haben sich Fachleute daran versucht und haben es halt nie geschafft. Und ihre Bemühungen waren ja tatsächlich auch zum Scheitern verurteilt. Das wussten sie. Sie aber damals eben leider noch nicht.
Weil erst von Lindemann tatsächlich beweist, dass das Problem von der Quadratur des Kreises eigentlich überhaupt kein Problem ist. Ehrlich gesagt, es ist im Grunde der Schatz, den man seit Jahrtausenden sucht, und der existiert einfach nicht. Es ist nämlich schlicht unmöglich.
Die Quadratur des Kreises ist nicht machbar.
Aber wie kommt man denn von Lindemanns Entdeckung genau zu diesem Ergebnis? Also Pi ist transzendent, und deswegen ist die Quadratur des Kreises unmöglich. Ja, also tatsächlich hat es was mit der Transzendenz von Pi zu tun. Aber um das zu verstehen, muss ich gerade wieder so ein bisschen ausholen.
Go for it! Ich bin gespannt. Okay, also wir springen jetzt wieder zu René Descartes ins 17. Jahrhundert. Und der hat herausgefunden, dass es eine Verbindung zwischen Algebra und Geometrie gibt. Also ich kann zu jeder algebraischen Gleichung einen Graphen zeichnen. Und zu einer Gleichung mit x², zum Beispiel, ist es dann eine Parabel. Ja, genau.
Und wenn ich jetzt was mit einem Zirkel und einem Lineal konstruiere, dann bedeutet es nichts anderes, als dass ich in einer endlichen Anzahl von Schritten Kreise und Geraden miteinander kombiniere. Und genau das lässt sich ja wieder in die Algebra übersetzen. Also ich verbinde endlich viele Geraden und Kreisgleichungen miteinander. Und das Ergebnis ist dann stets wieder eine algebraische Gleichung.
Also das heißt, alles was ich mit Zirkel und Lineal konstruieren kann, sind Längen oder Winkel, und die lassen sich ja eben durch diese algebraische Lösung auch wieder ausdrücken. Ja, genau das. Und so tauchen auf jeden Fall auch irrationale Zahlen auf. Also zum Beispiel die Wurzel aus 2, die bekomme ich, wenn ich die Diagonale von einem Quadrat mit Seitenlänge 1 bilde. Also super easy.
Und auch kompliziertere irrationale Zahlen kann ich mit Lineal und einem Zirkel konstruieren. Also zum Beispiel den goldenen Schnitt. Aber eine transzendente Zahl werde ich auf diese Art und Weise halt niemals erhalten. Weil transzendente Zahlen halt eben keine Lösung von algebraischen Gleichungen sind. Und mit Zirkel und Lineal kann ich halt eben nur algebraische Gleichungen umsetzen.
Das heißt, so etwas wie die Eulersche Zahl e oder Pi kannst du halt schlicht nicht konstruieren mit deinem Stöcklein und dem Zirkel. Genau. Und das ist das Problem bei der Quadratur des Kreises. Also wenn ich einen Kreis habe, sagen wir mal mit Radius 1, dann hat der eine Fläche von Pi.
Da muss ich irgendwie nochmal ganz kurz nachfragen. Denn die Fläche eines Kreises berechnet sich ja durch Pi mal Radius zum Quadrat. Und der Radius ist 1, also kommt Pi raus, weil ich das wieder auflösen kann, ne? Genau.
Und damit ein Quadrat auch eine Fläche von Pi hat, dann muss die Seitenlänge Wurzel Pi betragen. Wenn Pi aber transzendent ist, dann ist die Wurzel aus Pi halt eben auch transzendent. Und ich müsste also aus einem Kreis mit Radius 1 eine Länge konstruieren, die transzendent ist. Und dafür kann ich dann wiederum keine algebraische Gleichung machen.
Genau. Und das heißt, es ist unmöglich. Also ich kann nicht mein Lineal hernehmen und meinen Zirkel und daraus eben die Wurzel aus Pi konstruieren. Und deshalb ist die Quadratur des Kreises halt auch zum Scheitern verurteilt, wie du gesagt hast. Es geht einfach nicht, wenn ich einfach nur ein Zirkel und ein unbeschriftetes Lineal habe.
Ich verstehe zwar immer noch nicht so ganz, warum ihr da nicht einfach ein anderes Werkzeug nehmt. Aber gut. Demian von Lindemann gelingt hier Ende des 19. Jahrhunderts ja auch ein mathematischer Riesen-Coup, dadurch, dass er das eben beweist. Und trotzdem kriegt er ehrlich gesagt einfach immer noch immer wieder eins auf den Deckel, ne?
Ja, und zwar teilweise sogar höchstpersönlich. Und zwar zum Beispiel aus der mathematisch-philosophischen Ecke. Kannst du dich erinnern, dass ich vorhin gemeint habe, dass diese transzendenten Zahlen bei vielen nicht gut ankommen? Ja, weil es halt irgendwie so ein kompliziertes Ding ist.
Okay, kann man auch so sagen. Es war den Algebraikern einfach zu hoch. Darf ich das sagen? Ja, es war ihnen nicht algebraisch genug, ne? Okay. Einer von ihnen ist Leopold Kronenker. Ihm passt das alles gar nicht. Und er geht noch weiter.
Was hier gemacht wird und diese Theorie mit irrationalen Zahlen, wie eben die transzendenten Zahlen, die sind für ihn Humbug. Und so geht er einmal auch von Lindemann zu und spricht ihn auf seine Arbeit an, auf sein Paper über die Zahl Pi. Und ich zitiere hier mal von Lindemann selbst, wie er die Geschichte nacherzählt: So sagte Kronenker mir in seiner lebhaften und zu Paradoxen geneigten Art: „Ja, was nützt uns Ihre schöne Untersuchung über die Zahl Pi? Wozu das Nachdenken über solche Probleme, wenn es doch gar keine irrationalen Zahlen gibt?“
Echt sympathisch. Also ich finde Kronenkers Persönlichkeit eigentlich super unterhaltsam. Also er ist fair genug, zuzugeben, dass die Arbeit von von Lindemann schön und elegant ist. Aber dann, eine Sekunde später, heißt es: „Ja, die bringt halt nichts. Solche Zahlen existieren ja nicht.“
Aber tatsächlich verstehe ich diese Behauptung nicht so richtig, denn Kronenker liegt doch schlicht falsch mit dieser These, oder? Also da muss man fairerweise sagen, spätes 19. Jahrhundert, wo sich das alles abspielt, da waren die Grundlagen der Mathematik noch nicht wirklich festgelegt.
Also heute haben wir uns alle geeinigt, was Mathematik ist, was wir hier machen und welche Tools wir in der Mathematik so erlauben. Damals war es halt noch nicht so. Und transzendente Zahlen, das war etwas Neues. Und man konnte tatsächlich diskutieren, ob wir das in der Mathematik überhaupt erlauben wollen.
Das sind ja Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben. Wollen wir das wirklich machen? Wollen wir uns das antun? Heute klingt Kronenker ja eher wie ein Spinner, wenn er das so sagt. Und seine Theatralik hilft nicht wirklich. Aber damals war es eine wohlberechtigte Frage.
Aber ich fasse das jetzt vielleicht mal ein bisschen zusammen. Also Ferdinand von Lindemann gelingt durch einen recht simplen Gedankengang eigentlich der Beweis zur Lösung eines Jahrtausende alten Mathe-Problems. Er bekommt trotzdem lange Zeit nicht die Anerkennung, die ihm dafür eigentlich gebührt.
Und dabei haben wir von Lindemann ja auch noch viel mehr zu verdanken. Also eben zum Beispiel auch eben diese deutsche Übersetzung von „La Science et l’Hypothèse“ von Henri Poincaré, diesem besonderen Stück Wissenschaftsgeschichte, von dem ich ja ganz zu Beginn schon erzählt habe. Ja, genau.
Diese Übersetzung ist übrigens auch noch für etwas anderes gut. Nur dank dieses Werks wissen wir heute überhaupt von diesem kleinen Zusammenstoß zwischen Kronenker und von Lindemann. Lange galt diese Anekdote unter Historikern als apokryphisch. Also apokryphisch, das bedeutet, dass es dafür keine soliden Quellen gibt, ne?
Und Grund dafür ist ein Buch „The Battle for Kantorian Set Theory“ vom Historiker Joseph Dauben. Der erzählt diese Anekdote von Kronenker und von Lindemann und liefert dafür in seinem Buch zwei Quellen. Wenn man aber diese zwei Quellen checkt, dann findet man überhaupt keine Nennung der Anekdoten in diesen Quellen. Blöd, ne?
Bis denn ja, daraus hat man halt lange Zeit den Schluss gezogen, dass es wohl keine Quellen hierfür gibt, dass es eher so eine Art Legende ist und dass man das einfach weitererzählt, weil es schön klingt, aber halt lose ohne wirklich eine Grundlage dafür zu haben. Das passiert ja, ich würde mal sagen, ganz oft in der Geschichtsschreibung und auch in der Mathematik.
Tatsächlich gibt es aber eine Quelle, natürlich die am Anfang erwähnte Übersetzung von Poincarés „Wissenschaft und Hypothese“. Die hat ja von Lindemann übernommen und am Anfang erwähnt Poincaré die irrationalen Zahlen und Kronenkers Meinung dazu.
Und als von Lindemann das liest, liest er sich es halt nicht nehmen, seine Anekdote zu erzählen, um diese Meinung Kronenkers zu veranschaulichen. Aber was ist denn da mit Daubens Buch passiert? Ich meine, es sollte ja ehrlich gesagt eher nicht passieren, dass man einfach so falsche Quellen angeben würde.
Also der hat einfach nur falsch zitiert. Kann wirklich mal passieren, wenn man 300.000 Zitate und Fußnoten und so weiter hat. Das Blöde daran ist, dass halt diese Anekdote auch heute noch bei Historikern als nicht quellenbasiert gilt.
Ich habe in einem meiner Paper tatsächlich diese Anekdote erzählt, und bei einem der Reviewer kam halt die Kritik, dass es hier dafür keine Quellen gibt. Da musste ich halt wirklich die Seite vom Buch scannen und schicken, damit sie das selbst sehen. Es gab dafür positives Feedback.
Ah, gut zu wissen, dass es tatsächlich eine Quelle dafür gibt. Oh, sieh mal an. Das heißt, du hast dann die Quelle von der Übersetzung angegeben. Genau, die Übersetzung, wo er das selber dann schreibt. Genau, genau, das Buch. Das Buch habe ich tatsächlich noch in alter Fassung.
Okay, das war ja schön. Das heißt, es ist deine ganz persönliche Erfahrung mit von Lindemann. Absolut. Absolut. Und noch eine kleine Anekdote dazu: Ich war lange Zeit auf der Suche nach dem Buch, nach dem alten Springer-Buch von damals.
Und letztes Jahr war ich in einer Konferenz und habe in Heidelberg ein Antiquariat besucht, und da war das Buch da. Ich habe es direkt gekauft. Und hast du auch so eine kleine Anekdote noch von Lindemann, Manon, oder kein Fan mehr? Tatsächlich, nee, ich kannte den auch ehrlich gesagt gar nicht so gut vom Namen.
Ja, muss ich zu meiner Schande gestehen. Ich hatte ihn irgendwann mal, glaube ich, in irgendeiner Kolumne von mir mal erwähnt, aber da hatte ich auch zum ersten Mal von ihm gehört und habe es auch schnell wieder vergessen. Und als Demian letztens meinte, ja, wir machen von Lindemann, ich saß da und dachte: „Huh?“
Aber die Quadratur des Kreises kanntest du dann natürlich schon. Ja, ja, ja. Du bist nämlich auch Freundeskreis-Fan. Ja, tatsächlich, weil ich mich früher immer Freundeskreis auch gerne gehört habe. Aber da wusste ich auch noch nichts von der Mathematik hinter diesem Spruch.
Ich traute mich in dieser Folge wirklich als kompletter Noob. Ich kann nicht viele Stellen von Pi, ich kenne von Lindemann nicht. Übrigens, wir haben ja hier in dieser Folge ein bisschen drauf rumgehackt, dass wir ein Lineal ohne Markierung benutzen.
Ich bleibe dabei, dass das einfach ein Stock ist. Aber Manon, du hast ja schon selbst erwähnt, die Verbindung zwischen Algebra und Geometrie, die kam ja 1500 Jahre später. Als diese Probleme diskutiert wurden, da hat man Zahlen nicht mit Geometrie in Verbindung gebracht.
Also ist es eigentlich nur logisch, dass man ein Lineal ohne Zahlen benutzt. Ich habe aber extra gegoogelt, weil ich wirklich lange gehadert habe mit diesem Lineal ohne Zahlen. Ich habe extra gegoogelt, wann das Lineal erfunden wurde.
Tatsächlich gibt es Quellen, die darauf hinweisen, dass es schon 2500 Jahre vor Christus die ersten Lineale aus Kupferbasis gab. Von daher hätte man vielleicht auch einfach drauf kommen können. Nein, geh nach Hause.
Ich bedanke mich für diese schöne Folge. Und in der nächsten Folge sprechen wir über einen Menschen, der unsere Welt von heute ganz maßgeblich mitgestaltet hat. Und ich lehne mich mal weit aus dem Fenster und sage: Ohne ihn könnten wir heute womöglich keinen Podcast aufzeichnen.
Ihr habt Ideen, wer es sein könnte? Dann schreibt es doch in die Kommentare zu dieser Folge. Vielen Dank, Manon. Vielen Dank, Demian. Bis zum nächsten Mal. Tschüss! Danke dir.
Geschichten aus der Mathematik ist eine Kooperation vom Podcast Radio detektor.fm und Spektrum der Wissenschaft. Die Idee für den Podcast und die Story kommen von Demian Nahuel Guz. Die Mathematik erklärt hat Manon Bischoff. In der Redaktion mitgeholfen haben Demian Nahuel Guz, Manon Bischoff und ich, Rebea Schlotz. Die Musik kommt von Tim Schmutzler. Und die Folge produziert hat Wiebke Stark. Alle Folgen findet ihr auf detektor.fm und Spektrum.de. Ciao!
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