Ene menemu und raus bist du. Entschuldigung, Manon, alles klar? Was machst du denn da? Ich bin gerade dabei, was für diese Folge auszuprobieren. Ene menemu und raus bist du. Ja, klappt tatsächlich.
Also, Demjan, du kennst ja wahrscheinlich auch diesen Kinderreim. Oder hast du dafür was Wildes Spanisches auf Lager? Also ja, ich kenne das Ene menemu schon, aber ich kenne auch die antinische Variante. Das ist der Rame der Rame des Himmels und der Rame der Rame der Bubenwache. Okay, das ist ein klein bisschen energischer als das Deutsche. Ein kleines bisschen, ne? Oder sonst bei den Simpsons, da gibt es doch diese Folge, da singt Homer: „Ich und du, Müllers Kuh, Müllers Esel, das bist du.“ Weil er gerade so eine Kernschmelze im Reaktor abwenden soll und er hat halt keinen Plan, welchen Knopf er drücken soll.
Okay, also ich habe das früher immer im Schulhof mit Freunden gesungen, wenn wir zum Beispiel jemanden auswählen mussten, der beim Fangenspielen anfangen sollte. Okay, okay, aber Manon, wir sind ja jetzt nicht gerade im Pausenhof, oder? Nee, schon klar, aber ich wollte was machen, was nicht immer möglich ist. Und zwar die Mathematik der heutigen Folge selbst nachrechnen. Also dahinter steckt eine interessante Knobelaufgabe, aber auch eine grausame Geschichte, wie wir sehen werden. Genau, das ist die Geschichte von Flavius Josephus. Und damit hallo und herzlich willkommen zu einer neuen Geschichte aus der Mathematik. Mein Name ist Manon Bischoff, ich bin Mathe-Redakteurin bei Spektrum der Wissenschaft und hoste diesen Podcast. Alle zwei Wochen präsentieren wir euch die Geschichten von Mathemännchen aus aller Welt zusammen mit ihren mathematischen Errungenschaften.
Und nach langer, langer Zeit machen wir mal wieder einen Sprung ganz weit in die Vergangenheit. Denn heute besuchen wir das Galiläa des ersten Jahrhunderts und das Erste Weltkrieg. Doch bevor ich weitermache, ich hoste diesen Podcast ja nicht allein. Ich darf an dieser Stelle unseren Mathe-Geschichten-Erzähler Demjan Nawel Gos begrüßen. Hi, Demjan! Hey Manon, alles klar? Alles klar, Demjan. Wir bekommen ja immer wieder Vorschläge und Wünsche für Folgen von unseren HörerInnen. Aber dieses Mal ist ja schon ein klein bisschen anders, oder? Ja, genau, denn dieser Folgenvorschlag kam tatsächlich von meinem lieben Vater. Als treuer Hörer und Mathe-Fan hat er auch einen, ich würde mal sagen, guten Riecher für gute Mathe-Geschichten und hat die heutige Folge vorgeschlagen. Grüße gehen raus! Und an dieser Stelle, solltet ihr auch Wünsche für Geschichten haben oder gerne etwas mehr über ein bestimmtes Forschungsfeld erfahren wollen, dann schickt uns gerne eure Vorschläge. Also wir freuen uns immer! Absolut!
Und heute, Manon, geht es nicht etwa um einen Mathematiker wie so oft, sondern um einen Priester und Militärführer, Flavius Iosephus. Hier ein kleiner Hinweis: Die Quellenlage zu dieser Geschichte ist schwierig, weil unser Protagonist selbst die Hauptquelle der Geschichte ist. Und manche seiner Behauptungen erwiesen sich im Nachhinein als ja, inakkurat. Deshalb ist die Geschichte heute mit ein kleines bisschen Vorsicht zu genießen. Aber aus dieser Geschichte ist tatsächlich so etwas wie ein Mathe-Rätsel entstanden, das du uns heute präsentieren wirst, Manon, oder? Möchtest du vielleicht ein kleines bisschen schon mal verraten, worum es da geht? Also das Rätsel hat einen Namen, nämlich ganz passend das Iosephus-Problem. Und wie gesagt, finden wir hier unsere Kinderreime wieder. Also ich finde es immer super, wenn wir etwas aus der Kindheit nehmen und dann später erfahren, dass es viel Mathematik enthält. Das war ja auch in unserer Folge zum Haus vom Nikolaus so.
Was macht denn diese Abzählreime so mathematisch? Also diese Abzählreime, die werden ja oft benutzt, um jemanden zufällig auszuwählen. Wenn man jetzt zum Beispiel im Schulhof Fußballteams bildet, ne? Ja, genau. Und natürlich folgen diese Reime einem festen Muster. Also wenn man erst mal anfängt zu singen, ist ja theoretisch schon klar, wer ausgewählt wird. Ja, schon. Das bedeutet, man kann, wenn man gewieft ist, ausrechnen, wen es treffen wird und diese Informationen dann zum eigenen Nutzen einsetzen. Okay, ausrechnen. Da sind wir plötzlich wieder in der Mathematik. Bam! Mathe ist überall, ne? Und das war wohl, was du gerade gemacht hast, ne? Am Anfang? Genau. Ich wollte schauen, ob ich alles korrekt berechnet hatte und ja, es hat geklappt. Aber Achtung, auch wenn das jetzt alles kinderleicht klingt, wird das alles sehr, sehr schnell kompliziert, wie wir sehen werden.
Na wunderbar, dafür bist du da, Manu. Aber bevor wir dazu kommen, lass uns zuerst mal schauen, wie das Josephus-Problem überhaupt entstand. Du hast ja schon gesagt, die Geschichte findet im Galiläa statt. Das ist ja eine Region im heutigen Israel. Genau. Das alles spielt sich während eines großen Krieges ab. Das ist der Jüdische Krieg, wie er genannt wird. Er beginnt 66 nach Christus. Damals war die gesamte Region unter römischer Verwaltung und die Zeit ist von großer politischer Anspannung und Instabilität geprägt. Im Mai 66 kommt es zu einem Tiefpunkt, als der Prokurator den Tempelschatz in Jerusalem plündern lässt. Prokurator, das ist vermutlich so etwas wie der römische Verwalter der Region, oder? Ja, genau. Also zwei Jahre zuvor, im Jahr 64, ist es in Rom zu einem großen Brand gekommen, den größten der Stadtgeschichte überhaupt. Und es spricht viel dafür, dass die Römer das geplünderte Geld nach Rom geschickt haben, um halt diesen Wiederaufbau der Stadt zu finanzieren.
Okay, wenn der Tempelschatz in Jerusalem geplündert wird, um irgendwo in Rom was zu bauen, dann kann ich mir schon vorstellen, dass das in Jerusalem und der Umgebung das fast zum Überlaufen gebracht hat. In dieser ohnehin schon angespannten Lage halt umso mehr. Es kommt schnell zu Unruhen in der Stadt. Ja, ich würde sagen zu einem regelrechten Volksaufstand und zu einer Revolte gegen den Kaiser Nero. Und in diesem Kontext verliert Rom die Kontrolle über Jerusalem. Und damit bricht der jüdische Krieg aus. Ich finde es bei solchen Geschichten sehr interessant zu erfahren, woher man das alles heute so genau weiß. Also du hast ja schon ein bisschen angedeutet, dass die Quellenlage schwierig ist. Ja, sie ist schwierig. Zu dieser Geschichte gibt es eine Hauptquelle, und zwar ein Buch aus dem Jahr 74 nach Christus mit dem Titel „Jüdischer Krieg“, das diesen Konflikt halt thematisiert. Und der Autor ist Flavius Josephus. Es gibt also eigentlich nur eine Quelle und der Autor dieser Quelle ist selbst Teil der Geschichte. Ist ja schon ein klein bisschen problematisch. Ein kleines bisschen, Manon. Aber ja, problematisch auch deshalb, weil Josephus das Buch erst nach dem Krieg geschrieben hat und bei den Römern ja nicht wirklich in Ungnade fallen wollte. Also man kann ruhig davon ausgehen, dass hier und da Stellen der Geschichte eher zugunsten der Römer aufgeschrieben wurden.
Okay, aber trotzdem ist es ja interessant, weil er ist ja jemand, der beide Seiten sehr gut kannte. Ja, schon. Also wenn man sich dieses Buch anschaut, das ist in sieben Büchern, Kapiteln aufgeteilt. Und für uns besonders interessant ist das Buch Nummer drei, denn da wird zum ersten Mal Josephus erwähnt. Dieser Teil ist also autobiografisch. Okay, aber wer ist er denn jetzt eigentlich? Gut, schauen wir mal. Also Josephus wird entweder 37 oder 38 nach Christus in Jerusalem geboren. Er kommt aus einer Familie der Oberschicht und mit 19, 20 Jahren ungefähr, da wird er Priester. Besonders interessant für unsere Geschichte ist eine Reise nach Rom, die er so um 63, 64 antritt, um sich für die Freilassung von jüdischen Priestern einzusetzen, die in Jerusalem gefangen genommen und nach Rom überstellt wurden. Er schafft es, die Freilassung tatsächlich zu erwirken und zwar laut eigenen Angaben dadurch, dass er sich mit Poppeia Sabine anfreundet. Das ist die Frau von Kaiser Nero. Und natürlich steht er als Verfasser der Geschichte auch als Held da. Ja, tatsächlich. Ist doch ganz praktisch, oder? Und dazu noch als Held mit diplomatischem Geschick, ne? Aber jetzt zurück zum Krieg. Kaiser Nero beauftragt etwa zu dieser Zeit den römischen Feldherrn Vespasian, damit die Region Judäa zurückzuerobern. Den römischen Militärschlag vor Augen bereitet sich die Region aber darauf vor. Und dabei nimmt Josephus eine wichtige Rolle ein. Er wird mit der Verteidigung der Region Galiläa gegen die Römer beauftragt. Das könnte eine kleine Belohnung eben für seine politischen Erfolge in Rom sein, ne? Aber von dem, was du erzählt hast, hat er ja kaum militärische Erfahrung, oder? Also klingt ja eher nach einer kleinen Katastrophe, die sich da anbahnt. Ja, du liegst absolut richtig. Er ist ja kein bewährter Kriegstratege. Aber nicht nur das macht die Aufgabe so schwer, denn der Gegner ist das Römische Reich, also mit einer krassen Übermacht. Klingt ziemlich ausweglos. Also da bleibt wohl nur noch Kapitulation. Oder Josephus glaubt an diesem Punkt noch an einen Sieg. Er entscheidet sich dazu, mit seinen Männern verschiedene Bergfestungen aufzusuchen und sich dort zu verschanzen. So müssen die Römer jede Festung halt belagern, einnehmen und währenddessen können Josephus und seine Männer schnell zur nächsten Festung fliehen. Und so sollen sich die Römer quasi nach und nach an den Festungen abarbeiten. Also funktioniert diese Taktik? Jein. Also der Ausgang des Krieges lässt sich eine gewisse Zeit verzögern, ja. Aber die Übermacht der Römer ist halt zu groß.
An dieser Stelle ein Content-Hinweis: In diesem Teil der Geschichte geht es um Massensuizid und Mord. Wenn ihr euch mit solchen Themen unwohl fühlt und das nicht hören wollt, springt gerne jetzt zur nächsten Kapitelmarke. Er zieht sich jetzt in die Bergfestung Jotapata zurück. Die Stadt wird von den Römern belagert und Josephus schreibt in seinem Buch, dass dann Folgendes passiert: Die Römer stürmen die Festung. Josephus und 40 weitere Überlebende verstecken sich aber in einer Zisterne. Sie bekommen ein Ultimatum von den Römern, die sie halt eben gefangen nehmen wollen. In der Erzählung von Josephus ziehen die Überlebenden aber vor, durch ein Massensuizid zu sterben. Das Los soll dabei über die Reihenfolge entscheiden. Und durch Glück gehört Josephus aber zu den letzten Überlebenden und entscheidet sich dann am Ende dazu, sich lieber zu ergeben. Er kommt bald frei, verbringt schließlich den Rest seines Lebens in Rom und dort nennt er sich dann Flavius Josephus und entscheidet sich, seine Erfahrungen schriftlich festzuhalten.
Okay, Demjan, ich muss zugeben, ich bin jetzt ein kleines bisschen überrascht. Also die Mathematik, die ich jetzt erklären möchte, die taucht ja gar nicht auf. Also wo kommt jetzt bei dieser Geschichte die Mathematik ins Spiel? Okay, ja, Manu, ich bin total bei dir. Da fehlt noch ein letzter Punkt in der Geschichte, damit wir dort angelangen, wo du jetzt ansetzen möchtest. Und zwar später, also jetzt im Laufe der Jahrhunderte, ist aus diesem Loseziehen in der Geschichte von Josephus ein Mathe-Rätsel entstanden. Nehmen wir an, diese 41 Personen hätten einen Kreis geformt, um sich halt nacheinander zu töten. Und zwar nicht sich selbst, sondern immer die zweite Person links von einem. Die Frage, diese Knobelaufgabe ist dann: Auf welche Position hätte sich Josephus stellen sollen, wenn er überleben möchte, damit er halt der Letzte ist, der noch überlebt, ne? Wow, okay! Also dass aus dieser grausamen Geschichte eine lustige Knobelaufgabe wurde, die wir mit Enem Enem Mu verbinden, also ist schon krass. Ja, tatsächlich, da bin ich total bei dir, Manu. Ich muss zugeben, ich finde es ein kleines bisschen befremdlich und ja, schon fragwürdig, dass wir aus solchen tragischen Situationen, die überhaupt keine Fantasterei sind, eine lustige Matheaufgabe machen, ne? Ich denke, das sollte einem zu denken geben, ob das nicht irgendwie ein kleines bisschen daneben ist. Ja, die Mathematik an sich ist da schon etwas entspannter, würde ich sagen. Wollen wir uns vielleicht das lieber mal anschauen? Wie würdest du denn die Fragestellung, sagen wir mal, in mathematischer Sprache formulieren, Manu? Also ja, das ist eigentlich ziemlich abstrakt, wenn man das angeht. Und zwar dreht sich das Josephus-Problem darum, dass wenn ich n Objekte habe oder Personen, die in einem Kreis aufstelle und dann bis k durchzähle, die Kartenobjekte jeweils dabei entferne und die Lücken immer wieder schließe, dann lautet die Frage: Welche Nummer hat das letzte verbleibende Objekt? Du möchtest also wissen, welche Person in einem Kreis bei Enem Enem Mu übrig bleibt, ne? Genau! Ich kann dir ein ganz konkretes Beispiel bei uns aus der Redaktion nennen. Also wir bei Spektrum, wir essen ja super gerne Kuchen. Oh ja, das kann ich tatsächlich auch bestätigen. Fast immer, würde ich sagen, wenn ich bei euch zu Besuch bin, gibt es Kuchen. Da bin ich gut versorgt. Ja, und oft ist da sogar auch selbst gebacken. Und ansonsten gibt es passenderweise direkt im Erdgeschoss unseres Verlagsgebäudes auch einen Bäcker. Auch den kenne ich. Der hat im Moment echt leckere Kreppel auf Lager. Ja, und nachmittags kann es halt echt dazu kommen, dass man Lust auf was Süßes bekommt. Und jetzt nehmen wir mal an, vier Kolleginnen und ich wollen Kuchen. Aber niemand von uns will runterlaufen zum Bäcker. Dann können wir das Ganze ja über Enem Enem Mu entscheiden. Und du wirst deinen Platz in dem Kreis wohl eher nicht dem Zufall überlassen wollen, Manon, oder? Ja, auf gar keinen Fall. Also wir machen Enem Enem Mu, aber halt eben nicht nur einmal, sondern zählen so lange aus, bis nur noch eine übrig ist, die dann halt den Kuchen holen muss. Auf das abstrakte Josephus-Problem übertragen heißt das, wir bilden einen Kreis aus, sagen wir mal, n gleich fünf Leuten und wir zählen Enem Enem Mu und draus bist du. Das sind sieben Silben, also nehmen wir k gleich sieben. Genau, und ich habe hier jetzt mal was mitgebracht, damit wir das mal gut nachspielen können, weil ich leider nicht im Verlag bin und meine vier Kolleginnen bei mir habe. Deswegen präsentiere ich dir hier, was ich mitnehmen konnte. Okay, ich sehe ein Nilpferd, ein Kälbchen und eine Ente. Ich glaube, das Nilpferd kenne ich noch aus der Folge über das Ziegenproblem. Oder? Genau, da hatten wir keine Ziege, sondern ein Nilpferd. Genau, das war das Nilpferd-Problem. Super, danke schön! Mein Erinnerungsvermögen macht noch mit. So, also wenn wir jetzt diese drei Figuren nehmen und du und ich, das macht genau fünf. Das heißt, wir können jetzt diese Situation nachspielen. Das heißt, wir stellen uns jetzt im Kreis auf und du fängst jetzt an. Du bist Nummer eins im Kreis und fängst an zu zählen. Dann kommt das Nilpferd, dann das Kalb, dann die Ente und dann bin ich als Nummer fünf dran. Go! Enem Enem Mu und draus bist du. Das Nilpferd muss raus. Okay, wiedersehen! Es geht weiter. Jetzt fängt das Kalb an zu zählen. Ich spreche mal für unser Kalb hier: Enem Enem Mu und raus bist du. Jetzt muss ich raus. Ich bin also beim Kuchenszenario safe. Bei Josephus, naja… Oh nee, oh nee! Machen wir aber weiter. Jetzt fange ich wieder an. Enem Enem Mu und raus bist du. Jetzt musst du dran glauben. Also es gibt jetzt ein Duell zwischen Kalb und Ente und das Kalb fängt an: Enem Enem Mu und raus bist du. Okay, das Kalb muss jetzt raus. Die Ente ist bis zum Ende drin und ist die einzige Überlebende von unserem Josephus-Problem, ne? Genau! Jetzt haben wir leider trotzdem keinen Kuchen, weil die Ente, glaube ich, keinen Kuchen holen wird. Aber das heißt, wir wissen jetzt, dass wenn man einen Kreis mit fünf Personen bildet und durch Enem Enem Mu auszählt, die vierte Person bis zum Ende dabei bleibt. Das haben wir jetzt herausgefunden, indem wir das ganz konkret durchgespielt haben. Aber hätten wir das schon vorher irgendwie rausfinden können? Also gibt es irgendwie so eine Formel, mit der wir irgendwie sagen können, wir haben fünf Personen, einen Reim mit sieben Silben, wer bleibt am Ende übrig? Also genau das ist ja das Josephus-Problem. Und leider gibt es nicht eine griffige Formel, mit der sich das für jede beliebige Anzahl von Personen und mit jeder Art von Auszählreihen berechnen lässt. Habe ich natürlich befürchtet. Ist ja immer so in der Mathematik: Es klingt einfach, ist es aber nicht, ne? Hätte mich jetzt auch gewundert, wenn es irgendwie so eine coole Formel gibt, ne? Ja, aber für Spezialfälle gibt es immerhin so eine Formel. Gibt es da vielleicht ein cooles Beispiel? Also zum Beispiel, wenn man immer nur bis zwei abzählt. Also so nach dem Motto: „Er liebt mich, er liebt mich nicht.“ Also was man mit so Blüten an der Blume zum Beispiel machen kann. Da kann man eine Formel angeben. Aber ich warne dich vor, die Formel ist nicht unbedingt einfach. Also um rauszufinden, welche Blüte übrig bleibt, muss man zuerst die Anzahl der Blüten anschauen. Zum Beispiel 35. Und dann sucht man die Zweierpotenz, die am nächsten bei dieser Zahl ist. Also in diesem Fall ist 2 hoch 5 gleich 32. Und das ist die nächste Zweierpotenz, die an der 35 dran ist. Genau! Und uns interessiert aber nicht die Zweierpotenz an sich, sondern die Differenz dazu. Also wir rechnen 35 minus 32 und das ist 3. Und mit dieser 3 rechnen wir jetzt weiter. Die nehmen wir dann mal 2 plus 1. Also rechnen wir 3 mal 2 plus 1 und das ergibt 7. Bedeutet das jetzt, dass das siebte Blütenblatt übrig bleibt in diesem Fall? Genau! Und es gibt auch eine Formel für das Josephus-Problem, wenn man bis 3 abzählt. Also wenn man jeden dritten eliminiert quasi. Lass mich raten: Super kompliziert? Ja, genau! Die hängt dann von irgendeiner komischen Konstante 0,8111 ab, die man mit anderen Zahlen dann irgendwie multiplizieren muss. Dann muss man irgendwann noch runden und dann muss man noch Fallunterscheidungen treffen. Also ich glaube, das springt jetzt hier den Umfang von dem Podcast, wenn ich das jetzt im Detail wiedergeben würde. Aber es gibt eine Formel! Es gibt eine Formel! Ja, und für alle anderen Fälle muss man halt eben einen Computer heranziehen und einen Algorithmus nutzen oder natürlich es einfach selbst durchspielen. Alles klar! Da hat der Josephus wahrscheinlich auch sowieso schlechte Karten.
Demjan, am Anfang der Folge hattest du erwähnt, dass du diese Kinderreime auch in Argentinien genutzt hast. Habt ihr das auch benutzt, um zu entscheiden, wer Kuchen holen soll? Ja, aber ein bisschen anders. Also wir hatten das tatsächlich dann eher so im Teeniealter benutzt. Und da haben wir uns immer so in der Freundesgruppe abends getroffen, so 10, 15 Leute, um irgendwie einen Videofilm zu schauen und Pizza zu essen. Und da mussten halt immer zwei die Pizzen holen. Und da haben wir das benutzt. Und ich kann mich noch daran erinnern, dass wir einmal dieses Ene Mene Mu gemacht haben und dass ich dann leider erst einmal ausgewählt wurde, um die blöden Pizzen zu holen. Aber zusammen mit meinem Schwarm. Und dann war es wieder gut. Und hast du dich extra so gestellt, damit das passiert? Hast du das vorher ausgerechnet oder war es Zufall? Das war Zufall, Manu. Ich glaube, du überschätzt meine mathematischen Fertigkeiten im Alter von 15 Jahren. Na gut! Und wie schaut es bei dir aus, Manu? Ja, also ich habe das tatsächlich eher seltener genutzt. Und ich weiß auch nicht, ob ich so gewieft gewesen wäre, mich richtig zu positionieren. Also wahrscheinlich auch nicht. Und selbst wenn ich darüber nachgedacht hätte, hätte ich mich wahrscheinlich so blöd angestellt und mich einfach komplett dumm vertan oder so. Aber ich habe früher tatsächlich eher so die französische Variante von „Er liebt mich, er liebt mich nicht“ durchgespielt. In Französisch ist es aber ein bisschen ausgefallener. Da sagt man: „Il m’aime un peu, beaucoup, passionément, à la folie, pas du tout.“ Also er liebt mich ein bisschen, er liebt mich sehr viel, er liebt mich wahnsinnig und er liebt mich überhaupt nicht. Und jedes Mal zupft man halt so eine Blüte bei einer Blume ab. Ach du Schreck! Zumindest ist es nicht so schwarz-weiß wie im Deutschen: „Er liebt mich, er liebt mich nicht.“ Das gibt eine kleine Skala. Da gibt es noch ein bisschen Hoffnung. Ja, genau, richtig! Und konnte dir der Reim vielleicht deine Frage beantworten? Also ich habe es einfach immer so lange gemacht, bis ich die gewünschte Antwort bekommen habe. Aber geholfen hat es damals trotzdem nicht, leider.
Okay, okay! Ja, da muss man dem Glück schon ein kleines bisschen nachhelfen, oder, Manu? Also auch wenn die Geschichte von Flavius Josephus aus historischer Sicht mit Vorsicht zu genießen ist, dann hat sie doch zumindest ein spannendes mathematisches Problem aufgeworfen. In zwei Wochen gibt es eine neue Geschichte aus der Mathematik. Und zwar dieses Mal mit historisch gesicherten Fakten. Und zwar springen wir zurück in die Gegenwart zu einer Mathematikerin, die im Alter von gerade einmal 31 Jahren ein extrem hartnäckiges Rätsel gelöst hat, nachdem ihre Kollegen schon längst das Handtuch geworfen hatten. Geschichten aus der Mathematik ist eine Kooperation vom Podcast Radio detektor.fm und Spektrum der Wissenschaft. Die Idee für den Podcast und die Story kommen von Demjan Nawel Gos. Die Mathematik erklärt habe ich, Manon Bischoff. Die Redaktion kommt von mir, Manon Bischoff, Demjan Nawel Gos und Stefan Siegert. Die Musik kommt von Tim Schmutzer. Produziert hat die Folge Gregor Schenk. Alle Folgen auf detektor.fm und Spektrum.de.
