Dezember 1975 in San Diego, Kalifornien. Eine 52-jährige Hausfrau steht an der Arbeitsplatte ihrer Küche. Um sie herum Papiere und Notizen mit Kritzeleien, Stifte und Radierer in der Hand und eine weit aufgeschlagene Zeitschrift vor ihr. Eigentlich hat sie alle Hände voll zu tun. Das ist natürlich als Mutter mit fünf Kindern im Haus immer der Fall. Aber um diese Jahreszeit ein kleines Ticken mehr, denn es ist die Weihnachtszeit mit all den Vorbereitungen, die damit einhergehen. Doch das alles muss jetzt erstmal warten, denn es gibt etwas, das sie nicht loslässt. In der Zeitschrift hat sie so etwas wie eine mathematische Knobelaufgabe entdeckt, an der sie sich nun versuchen möchte. Schon mehrere Wochen arbeitet sie daran und wie hypnotisiert vergisst sie dabei alles andere auf der Welt und konzentriert sich nur darauf. Bis sie hört, wie ihre Kinder gerade von der Schule nach Hause kommen. Schnell packt sie all ihre Notizen zusammen, versteckt sie im Küchenschrank und tut so, als hätte sie die ganze Zeit nur Hausarbeiten verrichtet.
Das ist die Geschichte von Marjorie Rice. Hi, hallo und herzlich willkommen zu einer neuen Folge von Geschichten aus der Mathematik. Mein Name ist Rabea Schlotz, ich bin eure Host und natürlich begrüße ich auch Manon Bischoff vom Spektrum der Wissenschaft, die uns heute auch wieder die Mathematik erklärt. Hallo Manon. Hi Rabea. Und mit dabei ist natürlich auch Demjan Nawel Gos, der für die Geschichte zuständig ist. Hallo Demjan. Hi. Wie geht’s? Alles klar? Na klar.
Die Geschichte von Marjorie Rice
Die Geschichte von Marjorie Rice ist aus gleich zwei Gründen besonders bemerkenswert, wie ich finde. Wir befinden uns in den 70er Jahren in den USA. Frauen sind an Universitäten und insbesondere in den Naturwissenschaften nach wie vor eher eine Minderheit. Dass Frauen zur damaligen Zeit also für wissenschaftliche Durchbrüche oder neue Entdeckungen verantwortlich waren, ist insgesamt schon eine relative Seltenheit gewesen. Das ist der erste Punkt. Der zweite Punkt, und der ist, finde ich, noch viel wichtiger, ist, dass Marjorie Rice gar nicht zu dieser Minderheit gehört. Sie ist keine Wissenschaftlerin, keine Professorin, sie ist nicht mal gelernte Mathematikerin.
Wir haben so viele Geschichten in unserem Podcast über historische Persönlichkeiten, die von klein auf gefördert wurden oder eine ganz besonders gute mathematische Ausbildung genießen konnten. Aber bei Marjorie Rice ist es eben anders. An ihrem Beispiel kann man sehen, dass eine klassische akademische Ausbildung eben nicht unbedingt notwendig ist, um Mathematik zu machen. Jeder kann Mathe. Man braucht eigentlich nur Neugierde und Hartnäckigkeit. Ja, und beides bringt Marjorie Rice ja definitiv mit, ne? Genau.
Marjorie Rice wird am 16. Februar 1923 in St. Petersburg in Florida in den USA geboren. Aufgewachsen ist sie dann aber ganz weit weg, nämlich in einer kleinen Farm in Oregon. Das ist an der Westküste. Ihre Lehrer merken zwar schnell, dass sie Talent für die Mathematik hat. Vor allem für Arithmetik hat sie ein gutes Gespür. Aber sie interessiert sich auch sehr für mathematische Muster in der Natur. Als Kind wünscht sich Rice mal, Künstlerin zu werden. Aber dann, während der Highschool, macht sie sowas wie eine Ausbildung zur Sekretärin. Sie lernt Stenographie und Maschine schreiben und sowas, ne? Aber so richtig fühlt sich das nicht so für sie an. Sie hätte lieber was mit Mathematik gemacht. Damals war es aber nicht üblich und sie hat halt das gemacht, was üblich war.
Dazu muss man vielleicht wissen, dass Marjorie Rice in einem eher christlich geprägten Haushalt aufwächst. Ihre Familie geht regelmäßig in die Kirche und lebt eher ein traditionelleres Leben. Also die Frau kümmert sich dort um Haus und Kinder und der Mann ums Geld. Und genauso macht es dann eben auch Rice. Genau. Sie heiratet 1945. Zunächst wohnt das Paar in Washington D.C., zieht dann aber nach San Diego in Kalifornien. Insgesamt bekommt Marjorie Rice sechs Kinder. Eines stirbt jedoch noch im Säuglingsalter. Die nächsten Jahre widmet sich Rice also ihrer Familie, zieht fünf Kinder groß, schmeißt den Haushalt. Jedoch verliert sie nie wirklich ihr Interesse für die Mathematik. Sie nutzt jede Gelegenheit, ihren Kindern bei den Matheaufgaben für die Schule zu helfen, zum Beispiel.
Und regelmäßig flattert auch die Scientific American ins Haus. Das ist ein anerkanntes Wissenschaftsmagazin. Offiziell liest einer ihrer Söhne das Blatt, aber es gibt die Erzählung, dass Marjorie Rice das Magazin oft schon vor ihrem Sohn aus dem Briefkasten fischt und selbst darin liest, bevor der Sohn überhaupt nur weiß, dass die neue Ausgabe da ist. Und besonders gerne hat sie die Kolumne Mathematical Games von Martin Gardner.
Mathekolumnen und Rätsel
Manon, du hast ja auch selbst eine Mathekolumne, ne? Ja. Genau. Also meine Mathekolumne, die heißt Die fabelhafte Welt der Mathematik und die erscheint zweiwöchentlich. Also schaut gerne mal rein auf spektrum.de, um ein kleines bisschen Werbung zu machen. Und ja, da stelle ich halt auch eher aus meiner Sicht spannende mathematische Inhalte vor. Aber Martin Gardner hat auch gerne immer mal wieder Rätsel und Aufgaben gestellt. Das mache ich eher weniger. Also manchmal kommt es auch vor, aber eher weniger. Aber für Leserinnen und Leser kann ich auch nur empfehlen, auf der Spektrum-Webseite haben wir auch jeden Tag Mathe-Rätsel, die ihr lösen könnt. Werbung Ende.
Das heißt aber, du kennst dich aus sowohl mit Mathekolumnen als auch mit Mathe-Rätseln. Was kannst du uns denn dann zu Martin Gardner und seinen Mathematical Games verraten? Ja, also die sind legendär, muss man auch wirklich sagen. Also Martin Gardner hat echten Namen also gerade bei Mathe-Fans und aber auch bei Forschenden. Und er hat zwischen 1957 und 1980 jeden Monat in der Zeitschrift Scientific American eben ein mathematisches Thema behandelt. Und wie gesagt, auch oft mit einer mathematischen Aufgabe. Und die Leserinnen und Leser konnten dann halt eben ihre Antworten einschicken. Also damals natürlich noch per Post. Und teilweise bekam der halt auch wirklich tausende von Briefen. Also das muss man sich mal vorstellen.
Und was für Aufgaben waren das, die Martin Gardner geschrieben und Marjorie Rice dann gelesen hat? Also wirklich alles Mögliche. Ich habe mal so ein bisschen durchgeguckt, so ein paar alte Ausgaben. Also da gibt es zum Beispiel Aufgaben zu magischen Quadraten. Ich weiß nicht, ob du davon schon mal gehört hast? Ja, tatsächlich schon. Ich habe mich auch selber mal dran versucht. Also ich mache mehrfach die Woche so Sudoku und da habe ich auch großen Spaß dran. Die magischen Quadrate hingegen fand ich nicht so gut. Das war mir ein bisschen zu viel Rechenleistung, tatsächlich. Das habe ich kein Bock drauf gehabt. Aber das ist eigentlich ziemlich ähnlich wie so Sudoku. Also wenn man so überlegt.
Ja, weil so Sudoku musst du halt nicht rechnen. Ja, das stimmt. Ja, okay, das ist der Unterschied. Ja, bei diesen magischen Quadraten hat man eben auch so eine Art Gitter. Und in das muss man halt eben auch Zahlen eintragen. Also man hat dann auch eine gewisse Anzahl an Zahlen vorgegeben. Und man muss die dann so verteilen, dass zum Beispiel, ich weiß nicht, alle Zeilen und Spalten die Summe 29 ergeben oder irgendwie sowas. Also man muss die dann halt addieren und gucken, dass das richtig passt. Genau.
Und was gab es noch? Dann gibt es noch Fragen im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie zum Beispiel. Also Gardner hat auch das Rätsel um das Ziegenproblem aufgegriffen, über das wir ja schon in unserer Folge zu Marilyn vos Savant gesprochen haben. Also da geht es ja um die Gewinnwahrscheinlichkeit in der Gameshow. Und auch da hat er etliche Briefe bekommen. Ja, weil das dann doch eine Kontroverse gebildet hat. Ja, vielleicht kennt man das auch eher unter dem Monty Hall-Problem, benannt nach dem Moderator dieser Gameshow damals. Wir verlinken euch aber auch auf jeden Fall einfach die Folge nochmal dazu. Dann könnt ihr dort auf jeden Fall nochmal ein bisschen genauer reinhören, falls euch das interessiert und ihr die Folge bisher verpasst habt.
Genau. Und dann im Juli 1975, also da erscheint eine Kolumne mit dem Titel „Entessellating the Plane with Convex Polygon Tiles“. Das heißt auf Deutsch sowas wie „Über die Parkettierung der Ebene mit konvexen Vieleck-Kacheln“. Lass uns das vielleicht mal ein bisschen aufdröseln, damit es vielleicht ein bisschen klarer wird. Ich habe nämlich das Gefühl, dass mathematische Laien und MathematikerInnen unter Parkettierung sehr unterschiedliche Dinge verstehen.
Also ich zum Beispiel renoviere seit ein paar Jahren einen Altbau und habe dort in mehreren Zimmern einen neuen Fußboden verlegt. Das ist das, was ich damit verbinde. Aber weil wir hier in einem Mathe-Podcast und nicht in einem DIY-Podcast sind, gehe ich mal davon aus, dass ihr darunter was anderes versteht, oder? Es geht eigentlich gar nicht so sehr. Also ich muss ehrlich gesagt zugeben, ich habe noch keinen Boden parkettiert, so in echt. Aber im Prinzip ist es so, du hast eine gewisse Menge an Fliesen oder Kacheln vorgegeben von einer bestimmten Form. So kann man sich das vorstellen. Die sind dann halt zweidimensional. Und damit soll man eine Ebene, also eine Ebenenfläche, lückenlos bedecken und auch ohne dass sich überlappt. Also eigentlich.
Dann ist es ja doch so ein bisschen wie ein Boden verlegen. Ja. Finde ich auch. Und der Unterschied, der das so ein bisschen mathematischer macht, ist halt, man geht davon aus, dass die Ebenenfläche eben unendlich groß ist. Es war klar, dass ihr schon wieder einen Haken habt. Ja, natürlich. Und man hat natürlich auch unendlich viele Kacheln zur Verfügung. Und Gardner schreibt damals in seiner Kolumne: „Von den ältesten Zeiten wurden solche Parkettierungen weltweit für Flur- und Wandbewegungen benutzt und als Pattern für Verstück, Racken, Tapestrie, Kälte, Kleidung und andere Objekte. Der späte deutsche Künstler M.C. Escher hat sich amüsiert, den Flugzeug mit intrikaten Formen zu parkettieren, die wie Vögel, Fische, Tiere und andere lebende Kreaturen aussehen.“
Lag ich gar nicht so falsch? Ja, genau. Das ist eigentlich komplett richtig. Und solche Parkettierungen werden halt wirklich seit antiker Zeit genutzt. Also als neueres Beispiel nennt er eben Kunst von M.C. Escher. Also da kennst du ja bestimmt auch die berühmten Gemälde dieses niederländischen Künstlers. Ich habe es mir extra nochmal angeschaut. Tatsächlich waren sie mir aber bekannt. Das sind diese optischen Herausforderungen, nenne ich es mal. Also zum Beispiel Treppenhäuser ohne Anfang und ohne Ende, die einfach unendlich zu gehen scheinen. Und man guckt sich dieses Werk an und denkt: Hä? Genau, ja. Das ist das eine, was er viel gemacht hat, diese optischen Illusionen. Und das andere, was er viel gemacht hat, sind eben diese Kachelungen. Also da gibt es so Bilder von Fischen zum Beispiel, die sich so anordnen und die so die Ebene füllen. Das sieht irgendwie ganz cool aus. Ja, genau. Also da hat er ziemlich viel gemacht. Und ja, das zeigt, also das Ganze ist so ein Mathe-Thema, was in der Popkultur auf jeden Fall auch angekommen ist.
Die Kolumne und ihre Auswirkungen
Okay. Und wie üblich dreht sich die Kolumne von Gardner halt eben auch um eine bestimmte Frage. Also er schreibt: „Es geht darum, alle konvexen Vielecke zu finden, mit denen man die Ebene pflastern kann.“ Okay, also konvex, muss ich gerade nochmal kurz nachdenken. Also Vielecke, klar, mehr als zwei Ecken, würde ich behaupten. Oder gibt es da eine bessere? Okay, gut. Und dann haben wir eben noch die konvexen Vielecke. Und konvex ist ja nach außen gewölbt. Wenn ich jetzt nochmal an meine Brille denke, so war das doch, ne? Genau, ja, das ist nach außen gewölbt. Also du hast keine Einbuchtung oder keine Delle irgendwo. Und das kann man auch mathematisch klar definieren. Und zwar, wenn ich irgendwelche zwei Punkte innerhalb des Vielecks mir auswähle und die mit einer Linie, mit einer geraden Linie verbinde, dann verläuft die Linie eben immer innerhalb dieses Vielecks. Also ein Dreieck ist immer konvex. Genau.
Und bei einem Viereck, hier kann ich was konstruieren, das nicht konvex ist. Also ich könnte wie so eine Art Pfeil auch gestalten. Also du kannst dir das so vorstellen wie so einen Boomerang. Also du hast so eine Spitze und unten drunter eine kleinere Spitze und die sind miteinander verbunden. Bei Gardner ist es eben so, dass er sich diesen konvexen Vielecken widmet. Und die sollen eben eine Ebene bedecken. Aber es dürfen nicht wie beispielsweise bei einem Mosaik unterschiedliche Formen sein. Also da guckt man einfach, was halt so reinpasst, sondern es muss immer die exakt gleiche Form sein, richtig? Ja, genau. Bei dem Problem ist es wirklich so, wir haben eine Form vorgegeben, von denen haben wir unendlich viele Kopien. Und damit wollen wir lückenlos die Ebene bedecken.
Okay, aber du meintest ja auch, dass die Kolumne aus dem Juli ist. Aber Marjorie Rice über ihrer Küchentheke gebeugt, das war ja im Dezember. Was ist denn da passiert? Demjan, in der Zwischenzeit? Ganz vieles. Aber ja, Schritt für Schritt. Also wir sind noch im Juli. Rice liest sich diese Kolumne durch und ist erstmal ganz begeistert. In dem Artikel wird erklärt, dass Dreiecke und Vierecke nicht besonders wichtig für diese Fragestellung sind, denn da funktioniert die Paketierung tatsächlich immer irgendwie. Bei Fünfecken fängt es aber an, ein bisschen interessanter zu werden. Und da steht, dass alle unterschiedlichen Paketierungen mit Fünfecken schon gefunden wurden. Und es sollen angeblich acht unterschiedliche sein. An dieser Baustelle sei also jetzt nichts mehr zu machen.
Und Rice denkt sich hier schon so, dass sie das gerne verstehen möchte. Also was macht jede Fünfeck-Paketierung so aus? Was charakterisiert sie? Und gleichzeitig denkt sie sich so, sagen wir mal im Träumerischen: Mensch, das muss doch wunderbar sein, dass jemand diese Dinge decken konnte, die so viel nie jemand gesehen hatte, diese wunderschönen Muster. Hat sie das selber mal erzählt oder woher hast du diese Erkenntnis? Genau, sie hat mal in einem wissenschaftlichen Artikel ihre eigenen Erfahrungen dazu geschrieben. Aber im Prinzip ist sie auch ein kleines bisschen enttäuscht, dass da alles schon gelöst ist.
Aber dann kommt der Dezember. Und zwar ist das jetzt fast ein halbes Jahr später, 1975 sind wir da noch. Und da erwähnt Gardner in der neuen Kolumne, dass es ein Leser, der wohl auch kein Mathematiker ist, als Reaktion auf diesen Artikel vom Juli zu den Paketierungen es halt eben selbst probiert hat und dabei eine neue Fünfeck-Paketierung gefunden hat. Das bedeutet also, dass diese ursprüngliche Behauptung, es gebe keine weiteren Paketierungen als die acht Bekannten, die war falsch. Und das ist der Punkt, an dem Rice nun selbst zupackt. Wenn jemand anders eine Paketierung finden konnte, die bisher unbekannt war, dann kann sie ja vielleicht auch eine finden, oder? Man weiß ja nie.
Marjorie Rices Entdeckung
Also ich finde diese Herangehensweise an sich schon total beeindruckend. Deswegen habe ich eben auch noch mal nachgefragt. Da ist eine Frau Anfang 50, sie hat im Grunde keine überragenden mathematischen Kenntnisse, keine Ausbildung in diesem Sinne. Und dann liest sie diese Kolumne und denkt: Ach ja, ich schaue einfach mal, vielleicht entdecke ich ja auch was. Und wenn nicht, dann hatte ich irgendwie wenigstens Spaß dabei. Ich finde, das ist eine tolle Einstellung. Und gleichzeitig denke ich mir, wie kommt man auf so eine Idee? Also wie liest man das und denkt: Ach ja, im Grunde weiß ich zwar auch noch nicht so richtig viel über dieses Problem, aber ich probiere jetzt einfach mal, ob ich was Neues entdecke. Ich finde, das ist total crazy.
Ich würde sagen, das ist die natürliche Herangehensweise von Mathematikern. Also das ist das, was wir immer tun. Wir haben ja anfangs nie eine Ahnung, ob wir irgendwas herausfinden werden. Aber die Neugierde ist da und die Kühnheit zu sagen: Schauen wir mal, was passiert. Aber ja, Rice wird halt immer als Amateur-Mathematikerin beschrieben. Ist sie ja auch aus einem rein technischen Standpunkt. Wir haben ja gesagt, die hatte keine Ausbildung. Aber ich meine, die ist eine Mathematikerin durch und durch. Ich würde sie einfach nur als Mathematikerin bezeichnen. Aber das bin ich mit meinen Regeln.
Zurück zur Geschichte: Rice hat jetzt eben, weil sie diese Ausbildung als Mathematikerin nicht hat, eine kleine Hürde. Denn weil sie halt nicht studiert hat, kennt sie halt eben erst einmal diese ganzen vielen Theoremen und Eigenschaften nicht, die zu dieser Zeit schon bekannt sind und vielleicht für diese Fragestellung interessant sein könnten. Sondern sie kennt ja auch die typische Schreibweise der Mathematik nicht. Wir haben ja für alles eine eigene Notation und die hat immer eine innere Logik, nicht wahr? Also sie hilft uns dabei, Mathematik zu machen, zu verstehen und natürlich auch die Mathematik von anderem nachvollziehen zu können. Und das alles fehlt Rice.
Das ist aber für sie kein Problem. Das löst sie ganz einfach, indem sie ihre eigene Notation erfindet. Sie beschreibt mit dieser eigenen Notation die bereits neun bekannten Paketierungen, die 8 aus der Kolumne und die 9 des Lesers. Muss ich mir das so vorstellen, dass ihr Mathematiker eine Rechtschreibweise hat und sie erfindet jetzt einfach eine neue? Absolut. Und schreibt jetzt einfach komplett anders. Wir kodieren mit unserer Schreibweise mathematische Informationen gebündelt und pragmatisch und leicht verständlich. Ansichtssache, aber okay.
Das ist super praktisch und vor allem ist es eine Sprache, die wir alle zusammen verstehen. Ich hier, aber auch irgendjemand in Nigeria oder wo sonst wo. Und das Wichtige ist, dass man das erlernen muss, wie man das benutzt, wie diese funktioniert. Wie Rechtschreibung halt auch. Muss man auch lernen. Das heißt aber, sie schreibt jetzt quasi erstmal in ihren eigenen Worten auf, was sie schon weiß, was es schon gibt. Und dann nutzt sie dieses Wissen, um rumzuprobieren, ob es nicht doch noch eine 10, eine 11 oder gar 12 Variante geben kann.
Marjorie Rices Vorgehensweise
Wie geht man denn da am besten vor, Manon? Ja, also ich würde zu eurer Diskussion sogar noch so weit gehen und sagen, dass sie nicht einfach eine neue Rechtschreibung erfindet, sondern komplett andere Symbole benutzt als die Buchstaben, die wir kennen. Also ich habe mir das angeguckt, was sie gemacht hat, und ich habe das tatsächlich noch nie gesehen. Aber es ist mega ausgeklügelt. Also, okay, wir haben ja keinen Videopodcast, leider. Deswegen kann ich jetzt nicht einfach ein Bildchen hochhalten und euch zeigen, was sie gemacht hat. Aber wir packen auf jeden Fall einen Link in die Shownotes, wo ihr die Abbildungen nachschauen könnt, weil ich hoffe, man kann mir folgen.
Aber gut, du hast ja schon gesagt, zuerst versucht Marjorie Rice, die neun bekannten Pentagon-Typen durch Zeichnungen zu charakterisieren. Und dafür fängt sie aber erstmal an, ganz normale Fünfecke aufzuzeichnen, die so ein bisschen aussehen wie so ein kleines Häuschen. Das kann ich mir noch glaube ich ganz gut vorstellen. Das ist das Haus von Nikolaus, oben ein Dach, unten ein Fehler. Okay, genau, ja. Nur das Kreuzen in der Mitte fehlt. Aber ja, okay. Das ist wichtig, weil in der Mitte darf nämlich noch nichts stehen, weil noch sieht alles identisch aus. Neun Häuser, neun Häuser.
Und sie möchte darin nicht nur kodieren, wie diese Kacheln jeweils aussehen, diese neun Typen, sondern auch, wie man sie aneinanderlegen muss. Weil das ist immer wichtig bei diesen Parkettierungen. Man muss halt wissen, es gibt bestimmte Vorschriften quasi, welche Seite an welche drangelegt wird, damit das dann am Ende halt eben ein stimmiges Muster ergibt. Damit man am Ende nicht doch irgendwo eine Lücke hat. Richtig, ja. Weil wenn man es falsch macht, dann kriegt man ein Problem. Und das macht sie, indem sie eben diese Fünfecke, die sie am Anfang gezeichnet hat, markiert.
Also zuerst labelt sie die fünf Winkel, die es gibt. Also an den Ecken von A bis E. Und den fünf Seiten gibt es eben auch Namen. Also zum Beispiel klein a bis klein e, so wie man es auch in der Schule quasi macht. Ja, kann ich mich noch dran erinnern. Genau. Also bis dort erst mal nichts Neues. Und dann geht es ja aber so weit, dass sie sich dann anschaut, zum Beispiel in der ersten Kategorie der Fünfecke, die gefunden wurden. Da weiß man, dass die Winkel von A, B und C immer aufeinandertreffen müssen. Also wenn ich jetzt die erste Fliese lege, dann muss die Ecke A dieser Fliese mit der Ecke B der zweiten Fliese zusammentreffen. Und die Ecke B von der zweiten Fliese muss mit der Ecke C von der dritten Fliese zusammentreffen. Und zusammen schließen sie quasi den Raum. Das heißt, da haben wir dann in Summe 360 Grad. Also die Winkel A, B plus C müssen in Summe dann 360 Grad ergeben, weil sie alle aufeinandertreffen.
Ja, genau. Und das wusste man natürlich schon. Und Marjorie Rice weiß, was sie halt macht, ist, dass sie diese drei Winkel A, B und C in ihrer Pentagon-Zeichnung durch so schwungvolle Linien im Inneren miteinander verbindet. Also es sieht so ein bisschen aus wie eine Girlande. Ja, es sieht wie eine Girlande aus, finde ich auch. Wie Weihnachtsbeleuchtung. Ja, passend zur Zeit, in der sie daran sitzt. Genau.
Und dann schaut sie sich halt die zweite Kategorie an von diesen Fünfecken. Und die sind schon ein bisschen komplizierter. Also hier gibt dann die Summe der Winkel A, B und D 360 Grad. Das heißt, hier treffen eben A, B und D immer aufeinander von verschiedenen Kacheln. Und hier gilt aber auch noch, dass die Strecke A und die Strecke D gleich lang sind. Und hierfür zieht Marjorie Rice auch wieder so eine Kurve von A nach D, von D nach B. Und dann verbindet sie auch noch die Seiten A und D miteinander. Und genau so kann sie dann weitermachen und auch alle neun Klassen quasi von Fünfecken so entsprechend mit Symbolen versehen.
Das heißt, sie zeichnet erst mal alles so, damit sie es sich besser vorstellen kann. Sie nimmt quasi Wissen, das schon da ist, und bereitet es so auf, dass es für sie als Person, der dieses ganze Wissen neu ist, wo diese ganzen Theoreme, diese ganzen Regeln fehlen, sie versteht es jetzt. Was macht sie dann? Ja, also sie ist erst mal sehr neugierig. Und sie hofft halt, dass sie auf diese Weise irgendwie so Gemeinsamkeiten finden kann. Also zwischen der Form der Fünfecke und den dazugehörigen Mustern, wie man sie halt legen muss. Und ja, tatsächlich fällt ihr auch was auf.
Also sie hat dann geschrieben: „I saw that for every pattern each vertex of the pentagon must be touched by a line or symbol the same number of times.“ Das heißt, bei jedem Muster, das man hat, dort muss jeder Eckpunkt des Fünf-Ecks von einer Linie oder einem Symbol, das sie ja gezeichnet hat, jeweils gleich oft berührt werden. Also das ist wie so eine Art Regel, die sie ableiten kann für ihre Fünf-Eck-Kachelung. Und war das eine Regel, die anderen MathematikerInnen auch schon bekannt war? Oder ist das schon etwas, wo sie weiter gedacht hat als viele der Kollegen? Nee, das ist neu. Und das ist der entscheidende Ausgangspunkt, damit sie dann halt eben neue Paketierungen entdecken kann.
Genau, das geht dann zwei Monate so, Dezember und Januar. Und schließlich entdeckt sie dank dieser Beobachtung im Februar eine neue Paketierung. Yeah, das ist die erste neue Fünf-Eck-Paketierung, die sie findet. Und die wird inzwischen als Fünf-Eck-Neun bezeichnet. Also die setzt sich aus Fünf-Ecken zusammen, die tatsächlich einem klassischen Haus aus einer Kinderzeichnung irgendwie ähneln. Also nur, dass der Boden so ein bisschen schräg ist.
Also das Dach hat einen spitzen Winkel von 60 Grad. Die beiden Winkel von Dach zu den Wänden, die haben jeweils einmal 150 Grad und einmal 120. Und der eine Winkel zwischen Band und Boden hat 90 Grad, wie es bei einem Haus sein sollte hoffentlich. Und der andere aber 120 Grad. Also ein schiefes Haus. Ja. Und Marjorie Rice definiert eben auch die Regeln, wie man diese Fünf Ecke aneinanderlegen muss, um eine Ebene lückenlos füllen zu können.
Vermutlich wäre sie um einiges schneller gewesen, wenn sie ihre Arbeit nicht vor ihrer Familie versteckt hätte. Denn sie möchte nicht, dass ihre Familie erfährt, was sie da macht. Also dass sie halt jeden Tag ein kleines bisschen Matheforschung betreibt. So wie ich das interpretiere, war es ihr ein kleines bisschen peinlich. Jedenfalls möchte sie niemandem erklären müssen, was sie da macht. Zu schwierig. Und ihre Lösung ist, das einfach geheim zu halten und halt niemandem was zu sagen. Also versteckt sie alles sofort. In die Küchentheke, wenn jemand nach Hause kommt. Dann nimmt das Ganze natürlich etwas mehr Zeit in Anspruch. Als sie dann aber tatsächlich eine neue Paketierung entdeckt, schickt sie ihre Aufzeichnung direkt an Martin Gardner.
. Und der schickt sie direkt weiter an Doris Schatzschneider.
Doris Schatzschneider ist eine US-amerikanische Mathematikerin, die sich eben vor allem mit der Geometrie und im Besonderen mit diesen Paketierungen beschäftigt. Schatzschneider gibt spät dazu an, anfangs ein bisschen herablassend reagiert zu haben. Denn der Brief von Rice sah für sie eher lustig aus, wie Hieroglyphen.
Also durch diese sehr eigentümliche Notation von Rice war sie erst mal ein bisschen skeptisch. Aber dann hat sie sich das tatsächlich auch mal ernsthaft angeguckt, merkt dann auch, dass Rice etwas ziemlich Wertvolles entdeckt hat. Und dann entscheidet sie sich, mit Rice in Kontakt zu treten.
Die Vermutung
Genau, und da wird die Geschichte von Marjorie Rice gleich nochmal ein kleines Stück beeindruckender. Denn basierend auf dem Brief von Rice stellt die Mathematikerin Schatzschneider eine Vermutung auf: Wenn ein Fünfeck so und so aussieht, dann wird man vermutlich auch damit eine Paketierung schaffen.
Also das ist ganz typisch Mathe-Menschen: Ich denke mir etwas aus, was vermutlich wahr ist. Ich kann es nicht beweisen, deswegen hammere ich den Label „Vermutung“ und dann schickt man es weiter, damit die andere Person sich das auch überlegt. Und sie schickt es tatsächlich an Rice, und die antwortet halt direkt: „Nö, diese Vermutung ist falsch.“
Und sie schickt halt eben eine Erklärung mit weiteren Hieroglyphen, die halt ihre Folgerung untermauern. Das beweist tatsächlich, wie mächtig diese Notation ist. Denn ich meine, sie konnte damit schnell eine Vermutung einer Mathematikerin widerlegen.
Selbstvertrauen und Anerkennung
Also da gehört ja auch eine ordentliche Menge Selbstvertrauen dazu, so einer bekannten Mathe-Professorin einfach zu sagen: „Nö, du liegst falsch. Ich habe das an meinem Küchentisch anders ausgerechnet.“ Das finde ich total geil. Absolut! Ich kann mir auch vorstellen, dass sie da auch ein kleines bisschen Selbstzweifel hatte.
Ich meine, das ist typisch innerhalb der wissenschaftlichen Community: Immer irgendwie so: „Ich weiß nicht, ob ich das stimme. Wahrscheinlich denke ich falsch.“ Ich meine, vielleicht ist es ja auch von Vorteil, dass sie eben nicht in dieser akademischen Welt drin war, wo man eben häufig denkt: „Oh, was ist, wenn ich falsch liege? Dann ist es voll die Blamage von meinen Kollegen und Kolleginnen.“
Und sie dachte sich einfach: „Nö, einfach raus damit.“ Finde ich gut. Also die Arbeit von Rice wird dann schließlich veröffentlicht. Schatzschneider hat dazu auch viele Vorträge gehalten. Und Rice selbst möchte da aber lieber nicht öffentlich sprechen.
Der Vortrag im Jahr 1995
Da fühlt sie sich schon ein kleines bisschen eingeschüchtert von den MathematikerInnen. Jahre später, aber im Jahr 1995, da will Schatzschneider wieder zu der Forschung von Rice vortragen. Und sie schafft es, dieses Mal Rice zu überreden, dabei zu sein.
Eigentlich wollte Schatzschneider, dass Rice selbst einen Vortrag hält. Aber dafür hat sie sich nicht wohl genug gefühlt. Stattdessen hat Rice zugesagt, einfach mal kurz aufzustehen, wenn sie dem Publikum kurz vorgestellt wird.
Als es schließlich dazu kommt und Schatzschneider im Hörsaal Rice vorstellt, da steht das ganze Publikum aus Mathematikern auf und applaudiert in Anerkennung für die Leistung von Rice. Und ich denke, das ist ein wunderbares Ende für unsere Geschichte.
Gänsehaut und Anerkennung
Ich gebe auch zu, und ich lüge wirklich nicht, ich habe gerade Gänsehaut. Ich weiß nicht, ob ihr das im Video sehen könnt. Ich finde, das ist eine so schöne Anerkennung für diese Frau, die sich selber eigentlich nie in den Vordergrund gestellt hat.
Und dann quasi diese ganze Anerkennung, die ja häufig auch in der Mathe-Community fehlt oder zu spät kommt oder wo es angezweifelt wird, dass sie die noch abbekommen hat, finde ich schön. Mir gefällt auch ein bisschen, also ich meine, wir sehen hier ganz oft Geschichten, wo die Mathe-Community nicht immer super gut dasteht.
Ich mag es ja generell, zu kritisieren, was mir nicht gefällt, um Gottes Willen. Aber ich muss auch sagen, hier ist es auch eine Geschichte, wo man sagen muss, da steht die Mathe-Community auch gut da. Sie zeigt sich von der besten Seite.
Man war nicht irgendwie gatekeeperisch am Start und hat gesagt: „Nee, geh nach Hause, wir wissen hier, was Sache ist“, sondern man hat sie ernst genommen, und man hat ihr den Raum gegeben, und man hat auch ihre Arbeit anerkannt.
Mathematische Fragen bleiben
Ja, schöne Geschichte aus der Mathematik. Ja, aber bevor wir jetzt hier so Endstimmung verbreiten, also ich muss sagen, aus mathematischer Sicht sind wir noch überhaupt nicht fertig. Also wir haben jetzt darüber gesprochen, die Geschichte von Marjorie Rice ist sehr schön zu Ende gegangen, aber die mathematische Frage ist ja noch gar nicht beigelegt.
Du meinst die von Martin Gardner, also wie viele konvexe Vierecke eine Ebene pflastern können? Ja, genau. Also für drei- und Vierecke wissen wir es ja schon. Sechsecke sind auch klar. Alles, was größer als ein Sechseck ist, kann die Ebene nicht pflastern.
Okay, genau. Und Martin Gardner, als er seine Kolumne geschrieben hat, ging er ja davon aus, dass auch der Fünfeckfall schon beigelegt wäre. Aber mit Marjorie Rices und Richard James Erkenntnissen gab es ja dann 13 Fünfeckklassen auf einmal.
Unfertige Ergebnisse
Wenn ich jetzt darüber nachdenke, ehrlich gesagt, 13 klingt superunfertig. Also kann man das nicht irgendwie wenigstens vollmachen auf 15, 20, irgendwie sowas? Ja, das ist eine Primzahl immerhin, könnte man sagen, ist vielleicht so.
Aber man muss ja, also in der Mathematik reicht es ja nicht, dass man keine 9 findet. Also das gibt einem vielleicht einen Hinweis, dass man vielleicht fertig ist, aber das ist ja noch lange kein Beweis. Und Mitte der 80er findet man auch tatsächlich die Nummer 14, also das 14. Fünfeck.
Und damals denkt man auch wieder: „Okay, wir haben 14 Fünfecke, die die Ebene pflastern, mehr gibt es nicht.“ Es erinnert mich so ein bisschen daran, wenn ich abends das Duplo meines Sohnes wegräume und denke: „Okay, jetzt muss ich wirklich alle Teile gefunden haben.“
Und dann trete ich doch noch auf eins und denke mir: „Okay, da war noch eins übrig.“ So stelle ich mir das ein bisschen vor. Wenn ich Teller wasche und ich denke: „Jetzt bin ich fertig“, und dann gehe ich wieder in das Wohnzimmer und plötzlich gibt es da irgendwie noch ein paar Gläser.
Beweis bleibt aus
Ja, also ein alltägliches Problem, das wir ja auch in der Mathematik haben. Ich nehme also an, beweisen konnte man die ganze Sache nicht. Ne, genau, wieder nicht. Und auch aus Gründen, weil 2015 stellt sich raus, es gibt noch ein Pentagon.
Und zwar hat ein kanadisches Mathematiker-Ehepaar noch ein Fünfeck gefunden. Diesmal aber nicht durch Ausprobieren oder mit Lineal und Bleistift oder irgendwie, sondern die haben halt tatsächlich einen Supercomputer benutzt für die Suche.
Alltagsbezug der Mathematik
Und schon während dem Testlauf hat die Software auch das bis dahin unbekannte Fünfeck ausgespuckt. Ich muss da mal ganz ketzerisch fragen. Ich habe eben gesagt: „Haha, Alltagsrelevanz und so.“
Aber ich frage mich tatsächlich: Hat dieses Mathe-Problem von wegen: „Welches Fünfeck kann so eine Ebene füllen?“ Hat das tatsächlich irgendwie einen Alltagsbezug oder ist das halt einfach ein rein mathematisches Problem, das man eben gerne lösen will, um des Lösens willen?
Oder steckt da vielleicht doch ein bisschen was mehr dahinter, womit wir auch im Alltag regelmäßig Berührung haben, aber es gar nicht wissen? Also das Ding ist, dieser mathematische Bereich ist jetzt auch nicht ein supergroßer Forschungsbereich, dass sich jetzt MathematikerInnen da total verausgaben und keine Ahnung, Jahrzehnte lang forschen.
Anwendungen der Paketierung
Viele machen das eher so ein bisschen hobbymäßig nebenher. Oder eben, als es dann Supercomputer gab und man hat Algorithmen ausprobiert oder sowas, da hat man sowas gemacht. Man schaut sich da sonst eher andere Fragen zur Paketierung an.
Also Paketierung an sich ist schon ein Forschungsbereich, aber dass man jetzt nach einer bestimmten Kachelform sucht, hat eher weniger Anwendung. Das Ganze schon. Also man muss ja sagen, dass sowas wie Paketierung zum Beispiel in der Physik, ich komme ja aus der Physik, eine Rolle spielen kann.
Und zwar, wenn man sich Materialien anguckt. Wenn man an die Ecken der Muster Atome setzt, dann können das so ein Kristallgitter zum Beispiel sein. Und in den 80ern gab es eine große Überraschung, als man zum Beispiel Quasikristalle gefunden hat.
Quasikristalle und aperiodische Kachelung
Das sind Kristalle, die keine regelmäßige periodische Struktur haben, sondern die so unordentlich irgendwie wirken. Die eben keine periodische Struktur haben, aber trotzdem geordnet sind an sich. Also die folgen trotzdem festen Regeln.
Und diese Art von Muster, die wurden zuallererst in der Mathematik untersucht, eben gerade als aperiodische Kachelung. Das heißt, es gibt da auf jeden Fall Anwendungsfälle. Man kann auch in der Materialwissenschaft, wenn man sich jetzt überlegt, wie kann man Dinge verpacken oder sowas, da findet es auch Anwendungen.
Und in der Kunst oder so, wenn man gerade eine Altbauwohnung renoviert, zum Beispiel. Ja, aber ich verlege meinen Fußboden in der Regel in Vierecken. Und da wissen wir ja, funktioniert es immer. Langweilig.
Kreativität in der Mathematik
Aber man könnte ja viel kreativer sein. Ja, so ein cooler Fliesenboden stelle ich mir auch geil vor. Also ich greife jetzt ein bisschen vor und lasse jetzt nochmal kurz die Frage offen von Martin Gardner.
Aber vor drei Jahren, also 2023, wurde eine neue Kachelform gefunden. Das „Einstein“ wurde es genannt. Und das hat so für voll die Furore gesorgt. Es ist ein 13-Eck, und mit dem kann man die Ebene immer lückenlos pflastern.
Das Besondere am 13-Eck
Und das Besondere an diesem 13-Eck ist, dass das Muster niemals periodisch ist. Also wie ich ja schon gesagt habe, man hat halt immer ein aperiodisches Muster. Und nach so einer einzelnen Fliese, die das erfüllt, wurde halt jahrzehntelang gesucht.
Und die hat eben auch ein Hobby-Mathematiker gefunden, in dem Fall. Und das hat für so Aufregung gesorgt, dass ein Hutfest veranstaltet wurde in Oxford an der Universität. Und dort war ich auch.
Das Hutfest
Und da war das auch so schön, wie Demian das auch beschrieben hat. Also er ist reingekommen, alle haben geklatscht, und da waren Fachleute, da waren Künstler. Und viele Mathematikerinnen und Mathematiker haben da halt auch Vorträge gehalten.
Und es war einfach eine richtig tolle Veranstaltung, muss ich sagen. Was ist denn ein Hutfest? Ach so, Entschuldigung, die haben es Hutfest genannt, weil diese Kachel an einen Hut erinnert von der Form.
Ich habe sie mir gerade nebenbei geöffnet. Und das sieht tatsächlich aus wie so ein… Da unten ist so die Krempe und oben hat der Hut eine kleine Delle. Genau. Also ich finde ehrlich gesagt, und die meisten anderen auch, wenn man es sich andersrum anschaut, sieht es eher aus wie ein T-Shirt.
Der Vergleich mit Hilberts Hut
Ja, sehe ich auch. Es wurde zuallererst als Hut gelabelt und dann war es so. Aber Demian, wenn du dir das mal anschaust und es mit dem Hut von David Hilbert vergleichst, dann sieht es sehr stark danach aus. Stimmt. Jetzt muss ich das mal nebenbei googeln. Da ist ein Hilbert-Hut. Ja, der hat einen Hut auf.
Aber nochmal ganz kurz zurück zu deinem Hutfest. Das heißt, man hat einfach so ein Fest veranstaltet zu Ehren dieser neu gefundenen Kachel. Genau, und das war eine Art Minikonferenz. Also da gab es Vorträge, man konnte dort gemeinsam basteln.
Aktivitäten beim Hutfest
Ja, es gab ganz viele Aktivitäten. Das war richtig, richtig nett. Also der eine hat sich auch wirklich so einen Hut gebastelt aus Filz in dieser Form, hatte den auf. Eine andere Person hatte ein Kleid mit diesen Kacheln drauf an.
Und worauf ich eigentlich hinaus wollte, ist, es gibt auch Bilder von Leuten, die sich wirklich haben ihr Badezimmer so fließen lassen am Ende. Also Rabea, habe ich noch was vor? Da sind keine Grenzen gesetzt.
Tatsächlich, ich muss auch noch ein Bad machen, aber ich habe das Gefühl, dass mir 13-eckige Kacheln ein bisschen too much sind vielleicht. Na gut, na gut. Aber ich halte euch auf dem Laufenden.
Der aktuelle Stand der Fünfecke
Okay, dann ist aber trotzdem meine finale Frage: Wie ist denn jetzt der aktuelle Stand? Haben wir jetzt alle gefunden oder gibt’s da noch was? Also ja, es geht noch kurz weiter, aber sie ist fast zu Ende, die Geschichte.
Und zwar wurde die 15. Kachel gefunden. Das hat sich natürlich rumgesprochen. Und dann will Michael Rau, das war ein französischer Forscher, der macht sich auf die Suche nach Pentagon Nummer 16.
Und er weiß: Supercomputer können da ja helfen, und er kann gut programmieren. Also setzt er sich hin, schreibt 5000 Zeilen Code mal schnell runter. Und die sollen ihm alle Möglichkeiten liefern, wie man Fünfecke eben in einer Ebene anordnen kann.
Die Entdeckung von 24 Formen
Am Ende findet er 24 Formen. 24! Da hätte Marjorie Rice aber ganz schön lange an ihrem Küchentisch sitzen müssen für. Nee, tatsächlich nicht ganz, weil ein paar entpuppen sich als die gleichen Formen, also dass die zur gleichen Kategorie gehören.
Okay. Und am Ende sind es wirklich nur die 15 Kategorien, die bis dahin auch schon bekannt waren, nur eben mit unterschiedlichen Fünfecken drin. Genau. Und er kann damit halt wirklich zeigen, okay, das Fünfeck-Rätsel ist gelöst.
Der Beweis des Rätsels
Sein Computerprogramm ist alle möglichen Varianten durchgegangen, die es gibt. Also man konnte diese Fallunterscheidung treffen. Man konnte halt sagen, welche Anforderungen erfüllt sein müssen, sodass es nicht mehr unendlich viele Möglichkeiten sind, sondern eben nur noch endlich viele.
Und die alle ist das Programm durchlaufen. Und ja, es gibt nur diese 15 Fünfecke. Fertig! Hat Marjorie Rice das noch miterlebt? Bitte sag ja. Leider nicht.
Der Tod von Marjorie Rice
Also Marjorie Rice, die ist wirklich nur wenige Wochen gestorben, bevor Kato… Wenige Wochen? Ja. Oh, wieso habe ich nachgefragt? Wir hätten einfach mit den Standing Ovations aufhören sollen.
Demjan weiß, wann die Geschichte zu Ende geht. Aber Demjan, hast du denn vielleicht noch, um am Ende doch noch irgendwie schön zu enden, ich weiß nicht, Fun Facts, Fun Fact oder so?
Ich meine, von Manon haben wir eben schon vom Hut festgehört. Was verbindest du denn mit Marjorie Rice? Hast du vielleicht deine Küche mit so einer Kachel dekoriert? Nein, ich glaube, der Vermieter würde das auch nicht erlauben. Grüße gehen raus.
Ein Rice-Muster in Washington D.C.
Aber was ich erzählen kann, was auch ganz schnuckig ist: Eines der Muster, die Rice entdeckt hat, heute nennen wir sie halt entsprechend ein Rice-Muster, ziert heute tatsächlich den Boden der Eingang einer amerikanischen Mathematikvereinigung in Washington D. C.
Das finde ich schön. Also irgendwie, vor allem wenn man bedenkt, dass Rice ja früher als junges Mädchen noch mal Künstlerin werden wollte, finde ich, ist sie da sehr nah dran, wenn so ein ganzer Boden mit ihrem Muster bedeckt ist. Absolut!
Abschluss und Ausblick
Das Ende gefällt mir besser. Das nehmen wir. Deswegen ist Demjan auch der Geschichtenerzähler und nicht ich. Danke, Demjan. Danke, Manon. Danke dir!
In der nächsten Folge geht es um einen Mathematiker, der ziemlich früh verstorben ist und trotzdem unfassbaren Einfluss auf die Mathematik-Community genommen hat. Mittlerweile ist sogar ein Preis nach ihm benannt.
Ihr habt Ideen, wer das sein könnte? Dann schreibt es uns doch in die Kommentare, einfach überall dort, wo ihr Podcasts hört. „Geschichten aus der Mathematik“ ist eine Kooperation vom Podcast detektor.fm und „Spektrum der Wissenschaft“.
Die Idee für den Podcast und die Story kommen von Demjan Nauel Gos. Die Mathematik erklärt hat Manon Bischof. Die Redaktion und die Moderation habe ich übernommen, Rabea Schlotz. Für das Skript sind Manon Bischof, Demjan Nauel Gos und ich verantwortlich.
Die Musik kommt von Tim Schmutzler, und die Folge produziert hat Wiebke Stark. Alle Folgen findet ihr auf detektor.fm und auf spektrum.de. Ciao, bis zum nächsten Mal.
Foto: privat
Foto: Chris Coe