Damian, wir haben uns ja letztens über Videospiele unterhalten. Ja, genau, da wolltest du wissen, welche Spiele ich früher mal gespielt habe, oder? Ja. Also, das war Zelda auf dem N64. Oder? Ja, genau, Majora’s Mask. Und bei dir, du warst eher so ein PC-Typ. Das sagt halt eher daran, dass ich einfach kein N64 hatte. Aber auf dem PC gab’s auch supernice Sachen. Also vor allem Tomb Raider. Da bin ich eigentlich immer noch ein Fan von. Also nicht nur, weil Lara Croft so eine Art weiblicher Indiana Jones ist, sondern weil im Spiel jede Menge Mathe drinsteckt. Und da haben wir doch bemerkt, oh ja, da steckt ja eine richtig coole Story dahinter. Nämlich die Geschichte, wie Sir William Rowan Hamilton eine Formel in eine Brücke in Dublin geritzt hat und damit schon 1843 die Grundlage für Lara Croft geschaffen hat.
Ja, also wenn ihr euch mal gefragt habt, wie wir die Themen unserer Folgen auswählen. Wir haben zwar jede Menge Geschichten auf unserer To-Do-Liste, aber manchmal passiert’s auch so, dass wir ganz spontan während eines Gesprächs auf eine schöne Idee stoßen. Und damit herzlich willkommen zu einer neuen Geschichte aus der Mathematik. Ich bin Manon Bischoff von Spektrum der Wissenschaft und bringe euch die Mathematik näher. Und mit mir dabei ist… Bin ich Demian Nawal Groß. Hallo! Unser Chronist mathematischer Dramen und treuer Geschichtenerzähler.
Manon, Geschichten aus der Mathematik ist wieder da. Hurra! Vielen lieben Dank an dieser Stelle an die HörerInnen, die sich gemeldet haben, gefragt haben: Ey, was ist los? Wann gibt’s denn wieder Folgen? Wir sind heute leider nur zu zweit am Start, aber ich denke, das packen wir schon, oder, Manon? Absolut! Aber bevor wir wie üblich mit der Geschichte anfangen, Manon, was hat ein kultiges Videospiel der 90er Jahre mit einer Formel aus dem 19. Jahrhundert zu tun? Schauen wir mal 30 Jahre in die Vergangenheit. Da haben zwar schon viele Computer zu Hause gehabt, aber die waren eher schwach auf der Brust. Also wenig Speicher, wenig Rechenleistung. Oh ja, ich erinnere mich. Heute ist jedes Smartphone einfach so viel krasser ausgestattet. Und Tomb Raider war damals in gewisser Weise Pionierarbeit. Also ein 3D-Spiel aus der Third-Person-Perspektive. Third-Person-Perspektive, das heißt, die Kamera rennt mehr oder weniger der gesteuerten Spielfigur immer hinterher, also in diesem Fall Lara Croft. Dadurch kann der Spieler das Spielgeschehen gut beobachten und Lara Croft ist noch im Bildschirm zu sehen. Genau, und Tomb Raider war so einflussreich in dieser Hinsicht, dass man lange Zeit direkt von der Tomb Raider-Perspektive sprach. Damit das funktioniert, muss aber alles ruckelfrei laufen und das mit der begrenzten Rechenleistung wäre echt eine krasse Herausforderung.
Ja, und an dieser Stelle muss Hamiltons Formel ins Spiel kommen, oder? Ja, denn man muss bei solchen Spielen super effizient programmieren. Und Hamilton hat eine neue Art von Zahlen entdeckt, die dafür optimal sind. Und das viele Jahre, bevor es überhaupt Computer gab. Also, Demjan, ich denke, es ist mal wieder Zeit für eine Geschichte. Also, William Rowan Hamilton wird 1805 in Dublin geboren und ist ein echtes Wunderkind. Wie so oft in unseren Geschichten. Ja, das mag ich eigentlich nicht, weil es mehr oder weniger diesen Eindruck vermittelt, dass man ein Genie sein müsste, um überhaupt Mathe machen zu können, was aber überhaupt nicht stimmt. Ja, aber dafür kann Hamilton jetzt nichts. Natürlich nicht, der Arme. Und bei ihm ist es auch wirklich sehr beeindruckend. Mit drei kann er schon lesen und rechnen. Mit vier ist er schon ein ganz guter Geograf. Mit sechs kann er noch dazu Latein, Griechisch und Hebräisch übersetzen und offenbar zitiert er Homer. What? Also in dem Alter war ich ganz begeistert von Benjamin Blümchen und er liest die Ilias. Total crazy, oder? Mit acht liest er dann auch noch Italienisch und Französisch und spricht wohl gerne über seine Gefühle in einer Art improvisiertem Latein. Natürlich. Mit zehn kommen Arabisch und Sanskrit als Sprachen dazu. Also ich ahne schon, das wird kein ganz gewöhnlicher Lebenslauf. Aber wie findet der denn zur Mathematik? Also bei all den Talenten hätte aus ihm ja alles Mögliche werden können. Da gibt es eine kleine Anekdote, dass er jetzt mit acht Jahren an einem Kopfrechenwettbewerb teilnimmt gegen so ein US-amerikanisches Rechenwunderkind. Hamilton wird zwar geschlagen, aber das Interesse für die Mathematik bleibt.
In den Folgejahren macht Hamilton auf sich aufmerksam. Als junger Schüler, als Mathestudent, er folgt dem Weg in die Wissenschaft, der für ihn ja mehr oder weniger wie prädestiniert scheint. Und 1827, also mit knapp 22 Jahren, wird er am Trinity College in Dublin Professor der Astronomie mit dem Titel Royal Astronomer of Ireland. Astronomie ist eigentlich nicht so sein Ding, aber es ist eine prestigeträchtige Stelle und da kann er einfach nicht Nein sagen. Schon irgendwie krass, mit 22 Professor zu werden. Heute wäre ja sowas ja praktisch unmöglich. Aber Hamiltons Leben dreht sich nicht nur um Zahlen und geometrische Objekte, sondern auch um Catherine. Oh, es gibt also eine Frau in seinem Leben? Ja, genau, er lernt sie 1824 kennen und verliebt sich Hals über Kopf in sie. Aber sie heiratet leider einen anderen Mann. Hamilton leidet stark unter diesem Liebeskummer. Er schreibt sogar Gedichte. Hier ein Auszug auf Deutsch: Okay, ja, also diese Jugendliebe hat er offensichtlich noch nicht überwunden. Nee, absolut nicht. Jahre später heiratet er selbst dann aber auch und zwar eine Frau namens Helen Mariah Bailey. Aber er ist unglücklich, weil er eigentlich mit Catherine zusammen sein will. Wann immer er irgendwie Kontakt mit ihr hat, fängt er an, Alkohol zu trinken, traurige Gedichte zu schreiben und ja, generell deprimiert zu sein. Das zieht sich das ganze Leben über. Armer Hamilton. Also Glück in der Liebe hat er auf jeden Fall nicht. Aber Erfolg in der Mathematik, denn er macht ja eine krasse Entdeckung. Also am 4. November 1833 stößt Hamilton auf einem Paper der Royal Irish Academy, in dem es um komplexe Zahlen geht. Ja, das ist eine Mischung aus reellen und imaginären Zahlen. Also die imaginären Zahlen, die hatten wir in der Folge zu Tartaglia. Das sind diese sogenannten verbotenen Zahlen, die einer Wurzel aus negativen Zahlen entsprechen. Und wenn man jetzt eine normale reelle Zahl nimmt und eine imaginäre Zahl dazu addiert, dann bekommt man ein völlig neues Zahlensystem: die komplexen Zahlen. Also 2 plus Wurzel aus minus 4 ist zum Beispiel eine komplexe Zahl oder 6 minus die Wurzel aus minus 19. Und in dem Paper liest Hamilton zum ersten Mal, dass man komplexe Zahlen als Pärchen zweier reeller Zahlen darstellen kann. Also anstatt umständlich 3 plus Wurzel aus minus 2 zu schreiben, kann man auch einfach nur ein Zahlenpaar anschauen: 3, Wurzel 2. Also so, als hätte die Zahl zwei Dimensionen. Man ignoriert einfach die negative Wurzel und kann so mit zwei reellen Werten arbeiten. Das ist für Mathematiker heute zwar ganz natürlich, sich komplexe Zahlen so vorzustellen, damals ist es aber nicht wirklich etabliert. Und Hamilton stellt sich jetzt die Frage: Wenn komplexe Zahlen eine zweidimensionale Verallgemeinerung der reellen Zahlen sind, kann man nicht eine dritte Dimension hinzudenken? Also eine dreidimensionale Verallgemeinerung von reellen Zahlen basteln. Und wie hat er das gelöst? Also Hamilton hat zuerst die Idee, ein Trio aus reellen Zahlen zu bilden. Also ein Triple. Ist ja auch erstmal naheliegend. Also wenn man mit Zahlenpärchen ein neues Zahlensystem, die komplexen Zahlen, bilden kann, dann könnte ein Triple ja auch zu einer neuen Menge an Zahlen führen. Aber die Schwierigkeit besteht ja darin, zu zeigen, dass man diese neue Art von Zahlen miteinander addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Also die vier Grundrechenarten eben. Ja, genau. Und das klappt halt nicht. Hamilton versucht es und kommt einfach nicht voran. Ganz konkret scheitert er daran, zwei Zahlentriplen miteinander zu multiplizieren. Bei den Zahlenpärchen geht das ganz gut, aber bei seinen Triplen funktioniert es überhaupt nicht. Es kommt immer zu Unstimmigkeiten, Fehlern, Widersprüchen. Oh man, das muss richtig frustrierend gewesen sein. Heute weiß ich ja, dass diese Multiplikation einfach nicht funktionieren kann. Es ist unmöglich. Aber das wird erst viele Jahre nach Hamiltons Tod bewiesen. Und das Thema wird für Hamilton so eine Art Obsession. Und zwar wirklich lange. In der Zwischenzeit wird er dreimal Vater. Zwei Jungs und ein Mädchen. 1842, da plagt er sich mit dieser Frage schon seit fast zehn Jahren rum. Und sogar seine inzwischen groß gewordenen Kinder wissen, womit sich ihr Vater beschäftigt. Jeden Morgen fragen sie beim Frühstück: Papa, Papa, hast du es schon geschafft, die Triplen miteinander zu multiplizieren? Und er muss halt ganz fertig antworten: Nee, leider noch nicht. Wenn ich mir überlege, worüber ich mit meinen Eltern am Frühstückstisch geredet habe, nicht so ganz vergleichbar. Aber Hamilton schafft es ja irgendwann. Ein Jahr später, am 16. Oktober 1843 geht Hamilton mit seiner Frau spazieren und sie unterhalten sich. Irgendwann überqueren sie die sogenannte Broom Bridge, als Hamilton plötzlich stehen bleibt. Es schien, als ob sich ein Stromkreis schloss und ein Funke blitzte auf, wird Hamilton sich später daran erinnern. Denn ihm ist plötzlich die Lösung eingefallen. Eine Formel, die endlich die Antwort liefert. Die Antwort auf dieses zehn Jahre alte Problem. Es gibt keinen Zweifel, er hat endlich die Antwort auf all seine Fragen gefunden. Er ist jetzt euphorisch, er kann es kaum fassen und er ist so begeistert, dass er die Formel direkt mit einem Messer in die Brücke ritzt: I hoch 2 gleich J hoch 2 gleich K hoch 2 gleich I mal J mal K gleich minus 1. Die Lösung, nicht drei Zahlen braucht er, sondern vier. Quadrupel sind die Zahlen, mit denen auch die Multiplikation funktioniert. Hamilton nennt diese so lang ersehnte Lösung Quaternionen.
Ich selbst habe erst vor kurzem in meinen Vorlesungen da ohne die Quaternionen als mathematisches Konzept eingeführt. Und die Studis waren mäßig begeistert. Wozu sind die gut, haben die gefragt. Ich habe natürlich geantwortet, aber eher mit abstraktem mathematischen Krimskrams. Du hast aber von Anfang an die Videospiele erwähnt und das klingt irgendwie viel cooler. Wollen wir uns das mal anschauen? Ja, gerne. Also um das zu verstehen, müssen wir vielleicht nochmal einen Schritt zurückgehen und erklären, was Quaternionen überhaupt sind. Also, wir haben ja schon gesagt, die bestehen aus vier Komponenten. Was bedeutet, dass sie eigentlich vierdimensional sind. Und im Prinzip ja, etwas Vierdimensionales übersteigt ein kleines bisschen unsere Vorstellungskraft. Oder, kleines bisschen ist gut. Aber deswegen halte ich mich halt eher an die allgemeine Definition von Quaternionen. Also, ein Quaternion ist eine Zahl mit einem reellen Teil, einer normalen Zahl, plus drei imaginären Teilen. Also Hamilton erfindet neben der Wurzel aus Minus 1, die man ja als I bezeichnet, noch zwei weitere Zahlen dieser Art, die er J und K nennt. Das heißt, J und K sind auch sowas wie die Wurzel aus Minus 1 und ergeben Quadriat Minus 1. Das war ja auch Teil der Formel, die ich da gesagt habe, ne? Ja, genau, das besagt seine Formel. Also J und K sind also auch irgendwie imaginär. Aber I, man kann sie jetzt nicht zusammenfassen. Eine Quaternionszahl zeichnet sich dadurch aus, wie viel man von I, J und K hat und natürlich von den normalen reellen Zahlen. Zum Beispiel könnte ein Quaternion sein: 3 plus 2I plus 5J plus K. Und da man vier separate Teile hat, kann man sich das auch irgendwie wie eine vierdimensionale Zahl vorstellen. Und mit ihr kann man ja ganz normal rechnen. Also man kann die Zahlen multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren. Ich muss sagen, ich verstehe natürlich aus mathematischer Sicht, warum das so cool ist. Aber mir ist auch klar, dass es vielleicht ziemlich kompliziert wirkt, wenn man das zum ersten Mal hört. Ich meine, cool, jetzt haben wir ein neues Zahlensystem, aber why should I care? Ja, das ist auch erst mal das, was ich mich gefragt habe, als ich zum ersten Mal davon gehört habe. Also, welchen Vorteil habe ich von solchen Zahlen? Und die Antwort ist erst mal: Also mit Quaternionen lassen sich nämlich Drehungen im dreidimensionalen Raum ziemlich elegant beschreiben. Aber im Prinzip geht das ja auch mit Matrizen und Vektoren. Das lernt man teilweise ja auch schon in der Schule und wenn nicht, dann später in linearer Algebra. Man rechnet da mit Pfeilen, das sind die Vektoren, und mit Tabellen von Zahleneinträgen, den Matrizen. Ja, klar. Also, wenn man einen Vektor, also einen Pfeil im dreidimensionalen Raum drehen will, dann muss man ihn mit einer Matrix, also in dem Fall eine Tabelle mit drei Zeilen und drei Spalten, multiplizieren. Wenn man weiß, wie das geht, ist das an sich recht easy. Und deswegen werden Quaternionen jahrelang ignoriert. Man kann ja alles mit Matrizen und Vektoren machen. Ja, aber dann kommt es irgendwann zur Entwicklung von Computerspielen. Und gerade in den 90ern, wenn es um Tomb Raider und so geht, stehen extrem wenig Speicher und Rechenleistungen zur Verfügung. Damals ist es deshalb extrem wichtig, dass Computerspiele möglichst effizient programmiert sind. Je kompakter und simpler die Rechenschritte sind, desto besser. Und so kam mit der Entwicklung der 3D-Spiele halt auch die Quaternion ins Spiel. Bei solchen Computerspielen muss der Computer halt dauernd Drehungen beschreiben. Eine Figur bewegt sich, dreht ihren Blickwinkel, ihren Körper und so weiter. Aber warum sind Matrizen dafür jetzt nicht mehr gut genug? Naja, also sie sind natürlich schon gut genug, aber eine Matrix, die Drehungen beschreibt, hat ja insgesamt neun Einträge. Ich brauche also neun Zahlen, um eine Drehung zu beschreiben. Und wenn ich zwei kleine Drehungen hintereinander ausführe, dann muss der Computer zwei Matrizen mit jeweils neun Einträgen miteinander multiplizieren. Also das ist super viel Rechnerei. Quaternionen bestehen dagegen nur aus vier Zahlen, was einiges an Arbeit spart. Ah ja, okay, ja. Da sind Quaternionen natürlich besser. Und in Computerspielen werden ständig sehr viele kleine Drehungen hintereinander ausgeführt, damit die Übergänge halt eben fließend wirken. Und bei Tomb Raider haben die Quaternionen echt viel gebracht. Also das Spiel war für die damalige Zeit echt eine Sensation. Wenn Lara sich umdreht, ruckelt sie nicht von einer Position zur nächsten. Sie bewegt sich halt echt fließend. Und das dank der Quaternionen. Die sorgen dafür, dass diese Bewegung natürlich aussieht. Ja, und das wissen unsere jüngeren HörerInnen vielleicht nicht alle, aber ruckelnde Videospiele waren keine Seltenheit. Das heißt, ohne Hamilton keine geschmeidigen Actionheldinnen. So könnte man’s sagen. Und eine Art Graffiti aus dem 19. Jahrhundert sorgt dafür, dass Lara Croft nicht ruckelt. Also, Mann, Hamilton und seine Quaternionen. Ich finde die Geschichte eigentlich ganz interessant, oder? Auf jeden Fall! Und an der Geschichte finde ich echt faszinierend, dass man den Heurikamoment so genau benennen kann. Also das muss sich für Hamilton ja wahnsinnig krass angefühlt haben, als er seine Lösung plötzlich vor Augen hatte. Ich meine, jeder kennt das ja, wenn man länger über was nachdenkt und dann plötzlich eine Lösung hat. Also ich persönlich finde Hamiltons Geschichte auch deshalb so wichtig, weil sie einen Teil erzählt, der so oft vergessen wird. Und zwar, um zu so einem Heurikamoment überhaupt erstmal zu gelangen, muss man sich wirklich jahrelang und intensiv mit einer Frage befassen. Das passiert nicht so aus dem Nichts. Und das kann man auch nicht wirklich kontrollieren, ne? Also wann und wie diese Lösung dann irgendwann mal auftaucht. Das kann mal beim Duschen sein, beim Essen oder eben auch beim Spazieren. Wenn man sich das alles anschaut, dann ist William Rowan Hamilton ein schönes Beispiel dafür, wie seltsam der Weg mathematischer Ideen manchmal verläuft. Also jahrzehntelang galten Quaternionen als zu abstrakt, zu sperrig, zu weit weg von jeder Anwendung. Und heute sorgen diese Zahlen dafür, dass sich virtuelle Figuren selbstverständlich durch dreidimensionale Welten bewegen. Hamilton selbst hat natürlich nie erlebt, wie ein Computerspiel aussieht, geschweige denn, dass eine Abenteurerin namens Lara Croft durch Tempel krumm springt. Aber seine Frage, also wie man Drehungen im Raum sinnvoll beschreibt, war so grundlegend, dass sie bis heute relevant ist. Und das ist vielleicht eine der schönsten Eigenschaften der Mathematik. Sie entsteht oft aus reiner Neugier, aus hartnäckigen Grübeln und aus Ideen, die ihrer Zeit weit voraus sind. Und manchmal findet sie erst sehr viel später ihren Platz. Genau, dort, wo man sie am wenigsten erwartet. In zwei Wochen geht’s dann weiter mit der nächsten Geschichte aus der Mathematik. Dieses Mal wird es um einen Fall gehen, bei dem Mathematik dazu genutzt wurde, um einen Mann wegen seiner Religion zu diskriminieren. Geschichten aus der Mathematik ist eine Kooperation von Podcastradio detektor.fm und Spektrum der Wissenschaft. Die Idee für den Podcast und die Story kommen von Demjan Nawal Gos. Die Mathematik erklärt habe ich, Manon Bischof. Die Musik kommt von Tim Schmutzler, der auch die Folge produziert hat. Die Redaktion kommt von Demjan Nawal Gos, Stefan Siegert und Manon Bischof. Alle Folgen findet ihr auf detektor.fm und spektrum.de.
