Du, Manon, was würdest du als echtes Zeichen für Schönheit in der Mathematik nennen?
Wer sagt denn überhaupt, dass ich Mathematik schön finde? Manon. Nein, natürlich finde ich Mathematik sehr schön. Also ich sehe viele Strukturen, Theoreme und Beweise wirklich als schön an. Ein Beispiel, das mir da einfällt, ist das Gauss-Bonnet-Theorem. Man kann anhand der Krümmung einer Fläche auf deren typologische Eigenschaften schließen, also zum Beispiel auf die Anzahl ihrer Löcher. Über sowas in der Art hatten wir bei der Folge mit den hochdimensionalen Donuts zu Mariam Yersakhani gesprochen.
Ich hatte jetzt eigentlich darauf gehofft, dass du mir eine etwas einfachere Antwort gibst. Zum Beispiel die Formel e hoch i pi plus 1 gleich 0. Das ist ja die Eulerische Identität. Ach nee, ich finde die so abgedroschen. Aber Manon, die Formel! Ja, ja, ich weiß. Sie ist extrem einfach gehalten und vereint einige der wichtigsten Konstanten der Mathematik. Also die Eulerische Zahl e, die imaginäre Zahl i, die Kreiszahl pi, die 1 und die 0. Ist doch cool, oder? Ja, okay, irgendwie schon. Aber diese Formel wird so sehr gehypt. Also irgendwie langweilt mich das schon, dass die immer wieder so als Paradebeispiel herangezogen wird.
Ja, ich muss zugeben, ich bin da deiner Meinung. Ist auch nicht mein Lieblingsbeispiel. Aber wir halten fest, wir müssen hier mit besseren Beispielen aufwarten, um Manon zu beeindrucken. Und hoffentlich auch unsere Hörerinnen und Hörer. Und damit herzlich willkommen zu einer neuen Geschichte aus der Mathematik. Alle zwei Wochen lernen wir hier eine Persönlichkeit der Mathematik kennen und lassen uns mitreißen in spannende Geschichten und wunderschöne Mathematik.
Mein Name ist Manon Bischof, ich bin Mathe-Redakteurin bei Spektrum der Wissenschaft und darf unseren treuen Geschichtenerzähler Demian Naue groß begrüßen. Hallöchen, Demian! Hallöchen, Manon! Übrigens, prima Stichwort: Wunderschöne Mathematik. Ja, genau, habe ich extra gemacht. Heute geht es um ein ganz besonderes Thema in unserem Podcast, nämlich um die Schönheit in der Mathematik. Das hier ist die zweite Folge zu Paul Erdös. Wenn ihr euch die erste Folge über ihn noch nicht angehört habt, dann fangt doch am besten dort an.
Aber Demian, erzähl mal, was hat Schönheit in der Mathematik jetzt speziell mit Paul Erdös zu tun? Also war er ein Supermodel? Äh, nicht wirklich. Also, letzte Folge haben wir ja die Geschichte von Paul Erdös erzählt, diesem exzentrischen Mathematiker, der sein ganzes Leben der Mathematik widmet. Es ging darum, dass er ein riesiges Netzwerk an Kollegen hatte, mit denen er intensiv und unentwegt zusammengearbeitet hat, und sein ungewöhnlicher Lebensstil die Aufmerksamkeit des FBI auf sich gezogen hat.
Ja, genau. Also, es gibt aber einen Aspekt, der da ein kleines bisschen zu kurz geraten ist, nämlich seine Liebe zur Mathematik. Und ich dachte mir, worüber würde Erdös wollen, dass wir in unserem Podcast reden? Und ich habe keine Zweifel, dass es eben die Schönheit der Mathematik wäre. Und passend dazu wirst du, Manu, ein konkretes Stück Mathematik präsentieren, das Erdös wunderschön fand. Es handelt sich dabei um eine Matheaufgabe, die ganz klassisch klingt. Es geht um natürliche Zahlen und Teilbarkeit, also alles sehr typisch.
Dieses Problem kann man auf viele verschiedene Weisen lösen. Es gibt ein paar, sagen wir mal, langweilige Wege. Es gibt aber auch ein paar besonders elegante Beweisführungen. Und wir werden eine präsentieren, die besonders schön ist. Denn der Beweis benutzt das wohl einfachste Prinzip der Mathematik, das Schubfachprinzip. Was das genau ist und wie der Beweis funktioniert, sehen wir dann später. Das Schöne ist aber, dass die Fragestellung erstmal sehr kompliziert klingt, der Beweis dann aber mega einfach ist. Ich freue mich schon drauf.
Aber bevor wir uns das anschauen, würde ich gerne wissen, wie du Schönheit in der Mathematik definieren würdest. Das ist ja alles erstmal nicht so ganz einfach nachzuvollziehen, wenn man kein Mathematiker ist. Und selbst da gibt es ja keine eindeutige Definition dafür. Ja, es ist in der Tat schwierig, weil es eine Schönheit ist, die man als Außenstehender womöglich nicht unbedingt wahrnehmen kann. Ich sehe die ein oder andere Formel und denke: krass, wie schön!
Ja, und andere zucken halt mit den Schultern und denken sich: Was ist denn mit dem los? Ja, genau. Ich habe mal übrigens vor zwei Jahren eine Kunstausstellung zu genau diesem Thema veranstaltet. Da ging es darum, wie schwierig es ist, Mathematik zu erklären und zu kommunizieren, weil wir Mathe-Menschen mit ihr so viele Emotionen verbinden, wie eben mit Mathematik.
Ja, ich verstehe, was du meinst. Also man muss kein Kunsthistoriker sein, um ein Van Gogh-Gemälde zum Beispiel zu genießen und seine Schönheit zu bewundern. KunsthistorikerInnen können zwar aus ihrer Expertise heraus fachliche Aspekte dieser Schönheit benennen, aber auch ohne sie kann Van Gogh dich in sein Band ziehen. Bei mathematischen Formeln ist das aber ein bisschen anders, wahrscheinlich. Dazu passt übrigens ein Zitat von Erdös selbst. Er meint, dass es überhaupt keinen Sinn ergebe, die Schönheit der Mathematik zu erklären. Das sei so, als würde man erklären wollen, warum Beethovens Neunte so schön ist. Also entweder man nimmt diese Schönheit wahr oder nicht. Also man kann sie nicht erklären, sagt Erdös.
Okay, wenn das so ist, dann ist die heutige Folge jetzt zu Ende. Gibt ja nichts zu erklären. Genau, das war’s für heute. Vielen lieben Dank an die Hörerinnen und Hörer. Nehmt Spaß! Wir werden trotzdem erklären oder zumindest den Versuch machen, zu erklären, was es mit der mathematischen Schönheit auf sich hat. Der britische Mathematiker Bertrand Russell hat dazu mal eines der wohl bekanntesten Zitate überhaupt geliefert: Mathematik beinhaltet nicht nur Wahrheit, sondern auch die allerhöchste Schönheit. Eine Schönheit kühl und streng wie die einer Marmorstatue, ohne Wirkung auf jeden Teil unserer Natur, den wir den Trieben zurechnen, ohne den Glanz, wie ihn die Malerei und die Musik machen können, aber von erhabener Reinheit und fähig zu strengster Vollendung, wie sie nur ganz große Kunst aufweist.
Okay, schönes Zitat. Der Mann musste mit Worten umgehen. Also bis hierher wissen wir aber nur, was mathematische Schönheit nicht ist. Da stellt sich mir die Frage: Existiert sie denn wirklich oder ist das etwas, was Mathematikerinnen und Mathematiker halt so behaupten? Es gibt tatsächlich einen wissenschaftlichen Nachweis, dass mathematische Schönheit existiert, Manon. Es ist eine neurowissenschaftliche Studie, an der auch Michael Attia beteiligt war. Michael Attia, der britische Mathematiker, der vor einigen Jahren für medialen Wirbel gesorgt hat, als er ankündigte, dass er die Riemannsche Vermutung bewiesen hätte. Zu ihm haben wir auch eine Folge in unserem Podcast gemacht. Hört da gerne mal rein.
Aber man hat nachgewiesen, dass bei mathematischen Konzepten und Formeln, die allgemein als schön wahrgenommen werden, dieselben Stellen im Gehirn aktiviert werden, wenn man sie sieht, wie bei anderen klassischen Ausdrucksformen von Ästhetik und Schönheit. Ach, krass! Okay, dann ist es keine bloße Behauptung von Mathematikern, sondern ist es wirklich etwas Konkretes, was tatsächlich existiert. Absolut, absolut! Also wir labern hier nicht. Was die Studie auch noch ergeben hat: Es gibt unterschiedliche Typen von Schönheit.
Fangen wir mal ganz klassisch mit mathematischen Formeln an. Es gibt Formeln, die schön und elegant wirken, und es gibt welche, die total ekelhaft aussehen. Die vorhin erwähnte Euler’sche Identität ist ja das Paradebeispiel: e hoch pi mal i plus 1 gleich 0. Das ist auch offiziell die schönste Formel der Mathematik, wie Abstimmungen immer wieder zeigen. Das Schöne ist hier ja, dass sie super wichtige mathematische Konstanten enthält, also e, i, pi, 1 und 0, die wir aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik kennen, und sie erfüllen wie durch ein Wunder eine super einfache Gleichung.
Es gibt sehr viele Formen, die halt so schön sind. Ich denke, was vielen MathematikerInnen gefällt, ist, wenn sie kompakt sind und dabei sehr viel Informationen beinhalten. Vor allem bei Ramanujan gibt es unzählige Beispiele solcher Formeln, die er entdeckt hat. Hört da auch gerne mal in unsere Folge zu Ramanujan rein. Umgekehrt kann man also sagen, eine hässliche oder halt nicht so schöne Formel ist also eine, die übermäßig kompliziert ist und nicht wirklich tiefe Insights in die Natur der Mathematik bietet. Lustigerweise habe ich jetzt kein gutes Beispiel für eine hässliche Formel, Manu. Ich würde mal sagen, all die bekannten Formeln und all die, die sozusagen einen eigenen Namen haben, die sind nicht hässlich. Und das zeigt ja auch, dass wir in der Mathematik eigentlich nur nach schöner Mathematik streben, oder?
Ja, auf jeden Fall! Also mir fällt jetzt auf die Schnelle auch keine richtig hässliche Formel ein, aber ich kann selbst eine aufschreiben. Du hast ja jetzt auch erwähnt, dass es mehrere Arten von mathematischer Schönheit gibt. Was gibt’s denn noch? Ein weiterer Fall sind jetzt mathematische Objekte. Und da kann ich als Beispiel die platonischen Körper nennen. Von denen gibt es ja genau fünf: das Tetraeder, der Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder. Also das sind alles Polyeder, das heißt 3D-Objekte, die aus Flächen konstruiert sind, die alle gleich sind, also regelmäßige Vielecke.
Wenn man also zum Beispiel gleichseitige Dreiecke zusammenklebt, dann erhält man ein Tetraeder. Und wenn man Quadrate zusammenfügt, dann hat man am Ende einen Würfel und so weiter. Und wie sich rausstellt, gibt es aber eben nur diese fünf platonischen Körper. Nicht mehr und nicht weniger. Und ich denke, auch die Definition dieser Polyeder deutet ein kleines bisschen schon darauf hin, was sie so schön macht. Sie sind die Polyeder mit der größtmöglichen Symmetrie. Wir Menschen mögen ja bekanntlich Symmetrie.
Es gibt aber auch noch andere schöne Dinge in der Mathematik, nämlich Beweise. Und es gibt auch hier viele Arten von schönen Beweisen. Es gibt Beweise, die schön sind, weil sie mit unerwartet einfachen Mitteln tiefgründige Einsichten in die Mathematik liefern. Ich denke da ist das kantorsche Diagonalargument ein super schönes Beispiel, mit dem er halt bewiesen hat, dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt. Den Beweis haben wir in der Folge zu Georg Cantor natürlich auch vorgestellt.
Ja, genau. Also es ist halt eine Erklärung, der man erstaunlich gut folgen kann, aber die Schlussfolgerung, also dass es unterschiedlich große Unendlichkeiten gibt, das ist der absolute Mindblow, oder? Ja, auf jeden Fall! Es gibt aber auch Beweise, die unerwartete Verbindungen zwischen unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik offenbaren. Wir haben ja erst neulich in der Frenkel-Folge über das Langlands-Programm gesprochen. Da geht es darum, Erkenntnisse über zum Beispiel Algebra in neue Erkenntnisse in anderen Teilgebieten der Mathematik, wie der Geometrie, zu übersetzen. Wenn so etwas klappt, also wenn so eine Brücke gefunden wird, dann sind wir immer super happy, weil es uns halt zum Staunen bringt, oder?
Ja, wobei ich da nicht ganz weiß, ob ich den Beweis wirklich als schön bezeichnen würde. Also der ist ja immerhin knapp 1000 Seiten lang und stützt sich auf etliche komplizierte Erkenntnisse. Aber welche Rolle spielt jetzt Erdös bei all dem? Erdös hat in der Schönheit der Mathematik einen sehr großen Mehrwert für die Mathe-Community gesehen, was er immer wieder betont hat. Wann immer er einen Beweis von Kolleginnen und Kollegen gesehen hat, den er halt schön fand, hat er das dreifach unterstrichen und fand das Ergebnis auch deshalb relevanter und interessanter.
Das ging so weit, dass er anfing, von einem fiktiven Buch zu reden. Ein Buch, das nur Gott besitzt. Das Buch der Beweise. Oh, und Poet ist er jetzt auch noch? Ja, lustigerweise war Erdös aber Atheist. Er hat nicht an Gott geglaubt, aber er hat an das Buch geglaubt. Wenn er einen schönen Beweis gesehen hat, dann hat er halt direkt gesagt: Das ist ein Beweis aus dem Buch. Und alle wussten, was mit dieser besonderen Ehrung gemeint war. Ins Buch trägt Gott nämlich all die Beweise ein, die besonders schön, elegant oder unerwartet sind. Ein Buch, das die unausweichliche Wahrheit der Mathematik widerspiegelt, aber auch ihre erhabene Reinheit und wunderschöne Natur.
Und in diesem Buch findet sich sicher auch das einfachste Theorem der Welt, auf das Erdös immer wieder gerne zurückgreift. Wir haben jetzt viel über schöne Theoremen gesprochen, aber jetzt muss ich ja mal fragen: Was ist denn bitte das einfachste Theorem der Welt? Das Schubfachprinzip, also auch Taubenschlagprinzip genannt. Oh ja, das ist auf jeden Fall etwas, was super einleuchtend klingt. Es lautet so: Wenn man Objekte auf Schubfächer aufteilen möchte und es mehr Objekte als Fächer gibt, dann landen mehrere Objekte im selben Schubfach.
Also das klingt so einfach, dass es fast schon lächerlich wirkt, das Ganze als Theorem zu bezeichnen. Auf jeden Fall! Das ist ja etwas, was selbst kleinste Kinder checken, oder? Wenn die mit Bauklötzen oder so spielen. Ja, irgendwie schon. Aber das Erstaunliche daran ist, was man alles mit diesem kleinen Satz beweisen kann. Also zum Beispiel, es gibt auf jeden Fall zwei Personen auf der Welt, die exakt die gleiche Anzahl an Haaren haben. Eine wirklich wichtige Aussage.
Aber schauen wir mal, wie kommt man denn da drauf, Manu? Also dafür muss man zunächst wissen, wie viele Haare ein Mensch überhaupt so in der Regel auf dem Kopf hat. Je nach Haarfarbe und Herkunft sind es so bis zu 200.000. Und auf unserem Planeten leben aber insgesamt acht Milliarden Menschen. Okay, und jetzt sind die Menschen quasi die Objekte, also acht Milliarden. Und die Schubfächer sind die Anzahl ihrer Haare. Und da es nur bis zu 200.000 Schubfächer gibt, aber acht Milliarden Menschen, gibt es zwangsläufig mehrere Menschen im gleichen Schubfach. Also mehrere Menschen, die exakt die gleiche Anzahl an Haaren auf dem Kopf haben.
Zumindest so lange, bis sich eine der Personen kämmt und dabei ein paar Haare verliert, Manu. Ja, okay. Und mit dem Schubfachprinzip kann man noch viel mehr solcher Schlüsse ziehen. Also zum… Okay, lass uns mal überlegen: Heidelberg hat wie viele Einwohner nochmal? Rund 160.000. Zumindest 366 verschiedene Kalendertage. Wenn jetzt alle EinwohnerInnen exakt gleich verteilt Geburtstag hätten, dann wären das 160.000 durch 366 pro Tag. Und es ergibt, lass mich mal raten, ungefähr 438 Personen, die an einem Tag des Jahres Geburtstag haben.
Aber die Menschen werden ja wohl kaum gleich verteilt über das Jahr geboren. Es gibt ja sicher Tage, an denen mehr Kinder auf die Welt kommen als an anderen. Ja, genau. In diesem Fall muss ich die Menschen in den Schubladen jetzt umverteilen. Wenn ich jetzt aber eine Person aus ihrer Schublade in eine andere packe, dann hat die eine Schublade nur noch 437 Personen, die andere aber 439. Also dadurch erhöhe ich zwangsläufig immer den Anteil der Personen, die an einem bestimmten Tag geboren werden. Das absolute Minimum ist also, wenn alle gleich verteilt Geburtstag haben und es dann halt eben 438 Personen sind, die am gleichen Tag geboren sind.
Und damit hat sich auch Erdös beschäftigt. Erdös hat jetzt nicht wirklich die Haare seiner Gäste gezählt oder so, zumindest nicht, dass ich wüsste. Auch wenn er exzentrisch war. Man weiß nie. Man weiß nie, Manon. Aber er hat seinen Freunden immer gerne Aufgaben gestellt. Beim Abendessen soll er mal seinen damals jungen Gast Lajos Posa gefragt haben: Angenommen, wir haben eine Menge von ganzen Zahlen mit n plus 1 Elementen. Also zum Beispiel 1, 2, 3, 4 und so weiter. Oder 2, 5, 8 und so weiter. Also deren größte Zahl maximal 2n ist.
Okay, ganz kurzer Zwischenstopp. Das heißt, wenn ich eine Menge mit 10 Elementen habe, dann ist die größte Zahl darin 18. Genau. Okay, weiter. Erdös sagt zu Posa, er soll sich eine Menge aus ganzen Zahlen vorstellen mit der Eigenschaft, die du eben genannt hast: n plus 1 Elemente, größtes Element 2n. Check. Und dann fragt er ihn: Gibt es immer zwei Zahlen in dieser Menge, sodass die eine Zahl die andere teilt?
Okay, also zum Beispiel die Zahlen 2 und 4 oder 3 und 9 oder 5 und 10. Ja, der teilt halt immer eine die andere. Genau. Das klingt ja erst einmal ziemlich abstrakt, weil wir ja von der Zahlenmenge super wenig wissen. Nur dass sie aus natürlichen Zahlen besteht, dass es insgesamt n plus 1 Elemente enthält und durch die Zahl 2n begrenzt ist. Ja, ich glaube, wenn man mir jetzt die Aufgabe stellen würde, müsste ich jetzt auch erst mal ein bisschen länger darüber nachdenken.
Posa hat wohl während des Essens mit Erdös darüber nachgedacht und hat am Ende des Essens tatsächlich auch schon die Lösung parat. Okay, lass mich raten: Er hat das Schubfachprinzip benutzt. Genau, unser neues Lieblingstheorem! Also Posa hat sich überlegt, dass sich jede natürliche Zahl als Produkt einer Zweierpotenz, also sowas wie 2 hoch k, und einer ungeraden Zahl schreiben lässt. Also 1 ist zum Beispiel 2 hoch 0 mal 1. Genau, 2 hoch 0 und 1 ist dann die ungerade Zahl. 2 ist 2 hoch 1 mal 1. Da ist 1 die ungerade Zahl. 3 ist 2 hoch 0 mal 3 und so weiter.
Um alle Zahlen von 1 bis 2n abzudecken, braucht man dafür eine Zweierpotenz mal die ungeraden Zahlen von 1 bis 2n minus 1. Also insgesamt n verschiedene ungerade Zahlen. Die n verschiedenen ungeraden Zahlen sind hier die Schubfächer, schätze ich mal. Und die Objekte, die ich reinsortieren möchte, das sind die n plus 1 Zahlen, die in der Menge sind. Also ich habe n plus 1 Zahlen, die sich als Produkt aus einer Zweierpotenz und n verschiedenen ungeraden Zahlen bilden lassen. Das heißt, dass mindestens zwei Zahlen dieselbe ungerade Zahl als Teile haben. Und die landen dann natürlich in der gleichen Schublade.
Das ist der Beweis zur Erdös‘ Frage: Ja, es gibt immer zwei Zahlen in der Menge, die einen gleichen Teil haben und dadurch durcheinander teilbar sind. Das ist ein super eleganter Beweis, der aus dem einfachsten Theorem der Welt folgt. Und das blieb wohl über Jahre die Lieblingsinitiationsfrage von Erdös. Ja, seine Gäste mussten sich erst einmal dieser Frage stellen, um sich damit sozusagen zu beweisen.
Wieder einmal schweben mir am Ende unserer Folge ganz viele Gedanken durch den Kopf. Also ich denke da zum Beispiel: Warum scheint der Mathematikschönheit so wichtig zu sein? Ich kann mir vorstellen, dass das für viele unerwartet kommt, oder? Also erstmal ist es für alle Mathematikerinnen und Mathematiker ganz grundlegend wichtig, schöne Mathematik zu liefern. Wenn wir einen Beweis finden, wollen wir direkt einen schöneren Beweis von unserem Theorem finden. Das klingt ja erstmal recht irrational, oder? Also wenn das Ergebnis doch das Wichtige ist, dann ist es ja eigentlich mit dem ersten Beweis schon erledigt. Warum kümmert sich da eine schönere oder eine elegantere Variante?
Naja, es gibt dafür erstmal ganz pragmatische Gründe. Schöne Beweise sind generell einfacher zu verstehen. Und das ist ja mehr als nur erwünscht, ne? Aber es geht auch um Anerkennung, oder? Also Erdös hat ja diese Initiationsfrage benutzt, weil er dadurch sehen konnte, wie talentiert ein Schüler war. Wenn mein Ergebnis schön ist, dann wird es außerdem zu sprechen geben. Leute interessieren sich dafür und es wird relevanter. Außerdem kann ein schöner Beweis, der zum Beispiel eine neue Brücke zwischen zwei Teilgebieten schlägt, die Perspektive öffnen, noch mehr neue Brücken in diese Richtung zu finden.
Okay, ich verstehe langsam, warum du die letzte Folge so sehr gegen KI-Beweise gewettert hast. Das alles geht ja auf diese Weise verloren. Absolut! Also KI-Mathematik ist halt nicht schön. Und ich denke, wir vergessen dabei ein bisschen unsere, ja, ich würde sagen, philosophische Grundüberzeugung, wenn wir alle Karten auf KI setzen. Bevor es jetzt wieder zu Meinungsverschiedenheiten über KI kommt, machen wir hier Schluss für heute.
Erdös hat in der Mathematik nochmal ein ganz besonderes Augenmerk auf Schönheit gelegt und dadurch das Fach geprägt. Sein Buch der Beweise ist heute eines der bekanntesten mathematisch-philosophischen Gedankenspiele der Mathematik. Übrigens gibt es inzwischen das Buch der Beweise wirklich. Vor einigen Jahren, auch noch mit Unterstützung von Erdös selbst, haben der österreichische Mathematiker Martin Aigner und sein deutscher Kollege Günther Ziegler eine Sammlung an schönen Beweisen veröffentlicht. Aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik werden in dem Buch nur die schönsten Beweise präsentiert. Es ist zwar nicht so perfekt wie Gottes Buch der Mathematik, aber es ist wohl die beste Annäherung, die uns Menschen möglich ist. Schaut da gerne mal rein.
In der nächsten Folge werden wir den Internationalen Tag der Frauen in der Mathematik feiern, der am 12. Mai zu Ehren von Mariam Yassakhani gefeiert wird. Wir lernen dazu die erste Frau der mathematischen Geschichtsschreibung kennen. Geschichten aus der Mathematik ist eine Kooperation von Podcast Radio detektor.fm und Spektrum der Wissenschaft. Die Idee für den Podcast und die Story kommen von mir, Demjan Nawel Gos, die Mathematik erklärt hat Manu Bischof. Die Redaktion kommt von mir, Demjan Nawel Gos, Manu Bischof und Stefan Ziegart. Die Musik kommt von Tim Schmutzler. Die Produktion übernommen hat Stanley Baldauf. Alle Folgen auf detektor.fm und Spektrum.de.
Foto: Chris Coe