Pisa im Jahr 1225. In einem prunkvollen Saal haben sich städtische Gelehrte und kaiserliches Gefolge versammelt. Auch der Kaiser selbst ist anwesend: Federico II, Herrscher über das Heilige Römische Reich und ein Förderer der Wissenschaften. Er hört aufmerksam zu, als nun ein angesehener Pisaner Mathematiker herausgefordert wird. Gesucht wird eine rationale Zahl, deren Quadrat um 5 vermehrt, wie auch um 5 vermindert, wieder ein Quadrat ergibt. Eine komplizierte Aufgabe. Aber der Mathematiker ist gut im Rechnen, sehr gut. Er hat mathematisches Wissen, das kaum jemand in Italien hat. Kurz darauf nennt er die Lösung: 41 Zwölftel. Ein anerkennendes Raunen geht durch den Saal, und auch der Kaiser ist beeindruckt von der Rechenkunst. Dem Mathematiker wird ein Wunsch gewährt, und er wählt die Förderung seines Hauptwerks, auf das es endlich den Siegeszug antrete. Das ist die Geschichte von Leonardo Fibonacci. Hallo, herzlich willkommen und schön, dass ihr wieder eingeschaltet habt. Ihr hört den Podcast, in dem ihr alle zwei Wochen eine Geschichte aus der Mathematik erzählt bekommt. Und obendrein lernt ihr auch noch was über Mathematik. Hüter des vollen Mathe-Geschichtentopfes ist Mathematiker Demian Naulkos. Hi Demian! Und damit ihr am Ende dieser Folge nicht nur wisst, was Fibonacci für die Mathematik getan hat, sondern auch, wie er das gemacht hat, haben wir außerdem noch Manon Bischoff im Team. Die ist nämlich Mathe-Redakteurin bei Spektrum der Wissenschaft und deshalb sehr geübt darin, komplizierte Mathematik so runterzubrechen, dass sie hoffentlich alle verstehen, sogar ich. Hi Manon! Hi Caro! Ja, und ich bin auch da. Mein Name ist Caroline Breitschädel. Ich hoste diesen Podcast und versuche also, die Fäden, aus denen wir diese Folgen zusammenspinnen, in der Hand zu behalten. Manon, es geht in dieser Folge unter anderem um die Entwicklung der Mathematik, wie wir sie heute kennen. Dabei hat Fibonacci nämlich eine nicht ganz unwichtige Rolle gespielt. Weltberühmt ist Fibonacci aber wegen was ganz anderem geworden. Und zwar mit seinen Überlegungen zum Fortpflanzungsverhalten von Kaninchen. Und das klingt schon reichlich absurd, finde ich. Wie so ein verrücktes Hobby, das Fibonacci einfach so nebenbei hatte: Kaninchenzucht. Ja, das ist wirklich irreführend, weil mit Kaninchen hatte Fibonacci eigentlich nicht so viel zu tun. Und das ist auch nicht mal so, dass Fibonaccis Arbeit zum Fortpflanzungsverhalten von Kaninchen wirklich korrekt vorhersagt, wie Kaninchenpopulationen wachsen. Okay, gut, dann bin ich gespannt, wozu das gut ist. Und ich halte mich damit zurück, Fibonacci voreilig als so ein bisschen verrückten Spinner abzustempeln, weil mit solchen Schlüssen lag ich auch schon oft daneben. Und ich habe ja schon gesagt, er spielt echt eine bedeutende Rolle in der Mathematikgeschichte. Und die Mathematikgeschichte, die schauen wir uns jetzt mal an. Die ist nämlich ziemlich spannend, weil die Mathematik sich sehr ungleichmäßig auf der Welt entwickelt hat. Demian, in meiner Vorstellung ist ja zumindest eins in der Mathematik gesetzt: und zwar Zahlen. Und heutzutage ist Mathematik ohne Zahlen ja auch eigentlich undenkbar, würde ich zumindest glauben. Aber es gab vor einigen Jahrhunderten auch mal ganz andere Zeiten. Ja, es kommt ein bisschen darauf an, wie weit man zurückschaut und genau wohin man guckt. Mathematik hat sich nämlich nicht überall auf der Welt im gleichen Tempo entwickelt. Es gab über einige Jahrhunderte parallel verschiedene Traditionen. Aber schauen wir vielleicht erstmal auf Europa. Zwischen dem 6. und dem 15. Jahrhundert befindet sich Europa in der Epoche, die wir heute Mittelalter nennen. Die Naturwissenschaften stagnieren eher, also Philosophie und Theologie geben viel mehr den Ton an. Das führt dazu, dass jetzt nicht etwa Naturgesetze erforscht werden, sondern über die Frage diskutiert wird: Also im Ernst, wie viele Engel auf einer Nadelspitze Platz hätten? Also das ist jetzt wirklich kein random absurdes Beispiel. Das beschäftigt wirklich Philosophen im Mittelalter. Ja, wie viele passen da eigentlich rein? Ja, viele, glaube ich, viele. Aber ja, wenig verwunderlich eigentlich, dass in Europa zu dieser Zeit kaum mathematische Durchbrüche erzielt werden. Und es sind zum Beispiel auch noch die römischen Zahlen geläufig. Also die Buchstaben IV, X, L, C und so weiter, also wie römisch 1, römisch 5, römisch 10, römisch 50 und so weiter. Ich habe es noch in der Schule gelernt, tatsächlich in Mathe. Voll das umständliche System. Da sind natürlich schon so mathematische Basics wie Rechnen echt kompliziert, weil man muss ja schon im Kopf mitrechnen, um überhaupt nur größere Zahlen darstellen zu können. Also 80 zum Beispiel ist ja schon LXXX, also 50 plus 3 mal die 10. Und wenn man davon jetzt 9 subtrahieren wollen würde, also in römischen Zahlen geschrieben IX, 10 minus 1, ja, keine Ahnung, wie das gehen soll. Also erklären kann ich dir das jetzt auf die Schnelle nicht, aber dafür haben die Römer in der Regel tatsächlich einen Abakus benutzt. Also so einen Rechenschieber, den Manon in der Folge über Kurt Herzstark auch geschrieben hatte. Ja, ich hätte nicht Händlerin im alten Rom sein wollen. Mit dem modernen Zahlensystem mit den Ziffern 0 bis 9, mit denen wir bis heute rechnen, wird das alles natürlich viel einfacher. Aber das kennt in Europa damals noch niemand. Das entsteht nämlich in Indien und es dauert Jahrhunderte, bis es nach Europa kommt. Und was heißt das genau? Also von welcher Zeit sprechen wir da? Also die Zahlen, so wie wir sie heute kennen, gehen auf die indische Brahmi-Schrift zurück. Die hatte schon im dritten Jahrhundert vor unserer Zeitrechnung Zeichen für Zahlen. Die Brahmi-Ziffern. Boah, das ist echt lang. Die Inder haben mathematisch gesehen, also einen ziemlichen Vorsprung, kann man das so sagen? Ja, absolut. Deshalb ist es auch kein Wunder, dass aus Indien die wohl folgenreichste Erfindung der Mathematikgeschichte stammt: die Zahl 0. Ah, über die Geschichte der 0 haben Manon und du ja auch schon mal gesprochen, als ihr im Podcast Behind Science zu Gast wart. Ich packe den Link zur Folge auch nochmal in die Shownotes. Wer ist denn das Genie, das auf die Idee mit der 0 gekommen ist? Also überliefert ist der indische Gelehrte Brahmagupta. Im siebten Jahrhundert verwendet er zum ersten Mal die Zahl 0 als eigenständige Zahl. Und er findet, wenn man so möchte, mit ihr auch die negativen Zahlen. Also ein mega, mega wichtiger Meilenstein in der Geschichte der Mathematik. Nicht nur das: Ohne die 0 gäbe es die gesamte moderne Mathematik gar nicht. Auf ihr baut so ziemlich alles auf. Jedenfalls gelangen die Schriften von Brahmagupta mit den Neuheiten, indische Ziffern, 0 und negative Zahlen dann an den Hof des Kalifen Al Mansur nach Bagdad. Dort wird dann wiederum der anerkannte arabische Mathematiker Al Khwarizmi auf sie aufmerksam und schreibt ein Buch, in dem er diese neuen mathematischen Werkzeuge verwendet und erklärt. Dieses Buch erscheint etwa um 820 bis 830 nach unserer Zeitrechnung in Bagdad. Der Titel ist auch sehr auf den Punkt: Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen. Also im Original natürlich auf Arabisch, aber übersetzt wird es so heißen. Ja, da weiß man eigentlich schon, was man kriegt. Und der Einfluss von Al Khwarizmis Buch ist riesig. Zum einen gilt er wegen dieser Arbeit als einer der Begründer der Algebra. Zum anderen verbreitet sich das Buch über arabische Händler von Bagdad aus in die gesamte arabische Welt. Dadurch etablieren sich dort, also in der arabischen Welt, schon im 9. Jahrhundert die Zahl 0, die negativen Zahlen, die indischen Zahlzeichen. Und von der arabischen Welt aus gelangen diese ganzen Neuheiten dann in den Rest der Welt. Deshalb sind die ursprünglich aus Indien stammenden Zahlen uns heute auch als arabische Ziffern bekannt, weil die Araber sie maßgeblich weiter verbreiten. Aber erst im 12. Jahrhundert wird das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen von Al Khwarizmi ins Lateinische übersetzt. Es dauert also noch etwa drei Jahrhunderte, bis das Wissen auch die Gelehrten erreicht, die eben kein Arabisch verstehen. Das ist ganz schön krass. Und für diesen Siegeszug der indisch-arabischen Ziffern auch in Europa ist eine Person maßgeblich mitverantwortlich: Leonardo Fibonacci, beziehungsweise Leonardo da Pisa, also Leonardo von Pisa. Leonardo kommt nämlich um 1170 bis 1180, man weiß es nicht so genau, in Pisa zur Welt. Und wie es in Italien damals üblich ist, zeigt sein Geburtsname seine Herkunft an. Fibonacci, der Name, unter dem er auch bekannt ist, der wird ihm wohl erst nach seinem Tod zugeschrieben. Das ist ein Kofferwort, zusammengesetzt aus „Filius“, Lateinisch für Sohn, und „Bonaccio“, also Sohn des Bonaccio. Auf Lateinisch „Filius Bonacci“ wird zu Fibonacci. Und daraus leite ich ab, sein Vater heißt wohl Bonaccio. Richtig, Guillermo Bonaccio. Der ist Kaufmann in Pisa, wird dann aber von der Stadt als Handelsvertreter nach Algerien entsandt. Und als er da ist, lässt er auch seinen Sohn zu sich kommen, damit er dort im Rechnen unterrichtet wird. Und so lernt Fibonacci das indisch-arabische Zahlensystem mit den Ziffern 0 bis 9 kennen und damit auch zu rechnen. Das ist Ende des 12. Jahrhunderts, also so lange ist es in Nordafrika ja auch alles noch nicht bekannt, oder? Also er gehört ja damit quasi noch zu den Early Adoptern, sozusagen. Ja, also im 12. Jahrhundert wird ja erst die Arbeit von Al Khwarizmi aus dem Arabischen übersetzt und verbreitet sich. So bekommt sie auf Fibonacci in die Hände. Und er scheint fasziniert zu sein. Zumindest wird er die Arbeit später auch in seinem eigenen Hauptwerk zitieren. Aber bevor es soweit ist, reist Fibonacci um 1200 erst noch mit seinem Vater ziemlich viel umher: nach Ägypten, Griechenland, Syrien, Sizilien und in die Provence. Und dabei vertieft er seine mathematischen Kenntnisse. Kurz zur Vergewisserung: Sizilien, Griechenland und Südfrankreich, das liegt doch in Europa. Und in Europa ist doch aber noch Mittelalter und wissenschaftlicher Stillstand, dachte ich. Naja, also das Europa, wie wir es heute kennen, das existiert damals noch nicht wirklich. Und die Provence, Griechenland, Sizilien, das sind alles quasi Schnittstellen zwischen der arabisch-islamischen Welt und der lateinisch-christlichen Welt. Und hier kommt also viel Wissen zusammen und verbreitet sich dann auch. Ah, ok, verstehe. Also Fibonacci ist in Ägypten, Griechenland, Syrien, Sizilien, der Provence und überall sucht er nach mathematischem Wissen. Ja, absolut. Er ist super wissbegierig. Er sucht den Kontakt zu regionalen Top-Wissenschaftlern, lernt von ihnen unglaublich viel über den damaligen Stand der Mathematik und baut sich sein eigenes kleines Netzwerk auf. Hm, du hattest mir im Vorgespräch schon gesagt, Demian, dass die Quellenlage bei Fibonacci nicht so üppig ist. Zum Beispiel wissen wir nicht mal, wie Fibonacci wirklich ausgesehen hat. Das eine Bild jedenfalls, das in seinem Wikipedia-Artikel drin ist, das ihn mit einem Turban und Zitat nach einer Abbildung aus dem 19. Jahrhundert zeigen soll, das ist sehr wahrscheinlich einfach frei erfunden. Das hast du mir erzählt. Und was auch dafür spricht: Wenn man seinen Vater googelt, also Guglielmo Bonaccio, dann wird einem einfach exakt das gleiche Bild angezeigt. Also spricht nicht dafür, dass er das wirklich ist, weil wahrscheinlich sahen die nicht beide gleich aus, Vater und Sohn. Naja, also jedenfalls gibt es nicht so wahnsinnig viele verlässliche Quellen neben Fibonaccis wissenschaftlichen Veröffentlichungen. Deshalb ist es natürlich schwieriger, Fibonacci zu charakterisieren als jemanden, zum Beispiel von dem noch zahlreiche Briefe erhalten sind. Aber ich sag mal so, ich vermute, dass uns Fibonacci heute auch deshalb immer noch ein Begriff ist, weil er halt einerseits ein Talent für die Wissenschaft hat, für Mathematik hat, aber auch eines für Zwischenmenschliches, für Networking, sodass er halt in jeder Region, die er bereist, eine mathematische Erkenntnis mitnimmt, sozusagen. Also ohne so ein Talent für Menschliches hätte das ja wahrscheinlich auch nicht geklappt. Ja, ich bin damit absolut einverstanden. Er ist ein Sammler von mathematischen Erkenntnissen und er will sie nicht nur sammeln, sondern auch weiter verbreiten. Also er merkt ja, dass die Mathematik in der arabischen Welt schon viel weiter ist und sieht das scheinbar als Chance. Also er, der Reisende, sammelt die Erkenntnisse, schreibt sie auf und hat das Netzwerk, um sie weiter zu verbreiten. Es ist eine Chance für ihn, Europa mathematisch zu modernisieren. Das heißt, nach seinen Studienreisen geht es für Fibonacci erst mal wieder zurück in die Heimat nach Europa. Ja, genau. Also erst, als er zurück in Pisa ist, beginnt er, sein gesammeltes mathematisches Wissen systematisch festzuhalten. Vor allem das indisch-arabische Zahlensystem. Es entsteht Fibonaccis Hauptwerk, das 450-seitige „Liber Abaci“, das Buch der Rechenkunst, würde man heute so übersetzen. Ich habe mal die ersten zwei Sätze aus dem Buch mitgebracht. Okay, ich zitiere: „Die neun indischen Ziffern lauten: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Mit diesen neun Ziffern zusammen mit dem Symbol 0 lassen sich alle beliebigen Zahlen bilden.“ Zitat Ende. Also ich finde auch spannend, dass er die 0 hier nochmal so besonders hervorhebt. Ja, nicht wahr? Aber sie hat ja auch einen besonderen Stellenwert. Und in Italien und Europa kennt die allgemeine Bevölkerung keine 0 und auch nichts, was ihr sozusagen entsprechen könnte. Fibonacci fasst in seinem „Liber Abaci“ praktisch das gesamte mathematische Wissen dieser Zeit zusammen. Alles was er auf seinen Reisen eben gelernt hat. Und er führt die gesammelten Arbeiten auch weiter. Mich erinnert das ein bisschen an die Geschichte von Florence Nightingale, die britische Krankenschwester, die im 19. Jahrhundert mithilfe von Statistik die Krankenpflege komplett revolutioniert hat. Über sie haben wir im Mai im Podcast gesprochen. Nightingale ist ja auch ziemlich viel gereist, hat Informationen gesammelt und die dann alle zusammengeführt, weitergedacht und hat damit eben die moderne Krankenpflege begründet. Also ja, wie auch Fibonacci, ein sehr lebenspraktischer Output. Ja, und so ist Fibonacci eigentlich auch. Denn sein Anspruch an sein Buch ist tatsächlich auch, dass es den Menschen im Alltag nützen soll. Also nicht nur für Akademiker, sondern für alle. Es gibt zum Beispiel einen Abschnitt über kaufmännische Rechenaufgaben. In diesem Kontext führt Fibonacci die negativen Zahlen ein als Ausdruck von Schulden. Das finde ich irgendwie sympathisch, dass er direkt aufzeigt, wie Mathematik den Normalos sozusagen helfen kann. Und jetzt nicht nur sagt: Mathematik ist hier was für die großen Gelehrten. Ja, dazu muss man aber auch sagen, damals war Mathematik ein wirkliches Werkzeug für Normalos, wie du sagst. Also Architekten oder Kaufmänner. Mathematik wurde für die hauptsächlich entwickelt und konzipiert. Und die Gelehrten waren da eher die Ausnahme. Aber dann ist es ja erst recht wichtig, dass die Mathematik jetzt nicht super kompliziert ist, dass das alle verstehen. Und diese Vorteile bringt doch das indisch-arabische System. Absolut, absolut. Also Fibonacci merkt halt, natürlich, dass dieses indisch-arabische Zahlensystem absolute Vorteile hat und möchte, dass es sich halt überall durchsetzt. Ich hatte ja schon gesagt, als noch die römischen Zahlen der Standard sind, kann kaum jemand Kopf rechnen. Auch für einfache Rechnungen braucht man einen Abakus. Aber mit dem neuen Zahlensystem ist es viel einfacher, Rechenaufgaben im Kopf zu lösen. Und dazu möchte Fibonacci die Menschen ermächtigen. Das ist ja eigentlich die beste Wissenschaftskommunikation. Hier ist eine neue Erfindung, aber ich zeige euch auch direkt, wie praktisch die in eurem alltäglichen Leben ist und welche Vorteile die mit sich bringt. Und trotzdem stößt Fibonacci auf Probleme, als er versucht, das Wissen aus der arabischen Welt und Indien in Europa einzuführen. Zwei relativ banale Probleme: Es gibt noch keinen Buchdruck. Also so wie bei Gutenberg. Texte kann man entweder per Hand abschreiben oder umständlich mit einer Holzplatte abstempeln. Und dann ist das Papier, auf das man den Text aufwendig kopiert, auch noch sehr rar und teuer. Aber es gibt noch ein Hindernis: und zwar regt sich Widerstand gegen den Inhalt des „Liber Abaci“. Hat die lebenspraktische Aufbereitung also doch nicht so geholfen? Nicht bei allen. Der Papst und die Kirche sind zum Beispiel sehr skeptisch gegenüber dem neuen Zahlensystem und der Null. Deshalb konnte beides bisher nicht in ganz Europa Fuß fassen, obwohl die Araber auf der iberischen Halbinsel bereits damit vertraut sind. Die iberische Halbinsel ist nämlich muslimisch beherrscht von Anfang des 8. bis Ende des 15. Jahrhunderts. Ganz logisch eigentlich, dass die Menschen hier, also wo es arabisch beherrscht ist, das „kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren“ durch Ergänzen und Ausgleichen auch schon kennen. Die hatten ja auch kein Sprachproblem. Also dieses Buch, das der arabische Mathematiker Al Khwarizmi um 825 geschrieben hat. Und sie nutzen das mathematische Wissen daraus. Aber dieses Wissen hat sich eben noch nicht im mittelalterlichen Europa durchsetzen können. Und das liegt eben auch an der Kirche. Der Kirche ist nämlich die Vorstellung einer Zahl, die das Nichts verkörpert, nicht geheuer. Die Kirche, lustige Leute. Ja, okay. Und wie geht es jetzt weiter? Das „Liber Abaci“ ist draußen. Und dann, wo bleibt denn jetzt der große Durchbruch? Der lässt erst mal auf sich warten. Das Buch findet zwar Anerkennung unter einem kleinen Kreis Gelehrter. Und das bringt Fibonacci einen Job auf dem Hof von Friedrich II, beziehungsweise Federico II di Svevia. Der ist seit 1220 Kaiser des Heiligen Römischen Reiches. Aber so richtig etabliert sich das „Liber Abaci“ nicht. Das muss ziemlich frustrierend sein für Fibonacci. Er hat da einen Haufen mathematischer Ideen niedergeschrieben, die dem Stand der Mathematik in Europa krass überlegen sind. Er ist dafür durch die Weltgeschichte gereist, hat sich mega die Arbeit gemacht. Und niemand kriegt so richtig davon mit. Deshalb setzt er auch alles daran, das zu ändern und nimmt an öffentlichen Rechen Challenges teil. Ah, über so Rechenwettbewerbe oder beziehungsweise um Rechenduelle ging es in der Folge über Tartaglia von Ende August letzten Jahres. Die Folge finden unsere HörerInnen auch nochmal in den Shownotes. Also in diesen Duellen da treten zwei Mathematiker gegeneinander an. Und die Wettbewerbe, das sind eben Wettbewerbe, bei denen Mathematiker von jemand Außenstehendem geprüft werden. Und da zeigen die Mathematiker dann halt, was sie mathematisch drauf haben. Und wenn es gut läuft, gibt es halt Prestige oder womöglich auch eine Anstellung zu gewinnen. Oder im Fall von Fibonacci die Kunst des Kaisers. Kaiser Federico II gewährt ihm ja einen Wunsch. Wir hatten das schon ganz am Anfang in der Einstiegsszene. Und Fibonacci bittet ihn darum, die Verbreitung seines mathematischen Hauptwerks zu fördern. Ganz Italien, nein, ganz Europa soll sein „Liber Rechenaufgaben im Kopf lösen kann. Das ist Fibonaccis Vision. Der Kaiser setzt sich tatsächlich für Fibonacci ein. Aber trotzdem erlebt Fibonacci nicht mehr, wie sein „Liber Abaci“ Europa erobert. Erst Jahrhunderte später wird es als wissenschaftliches Meisterwerk angesehen und von großen Mathematikern wie Leonhard Euler und Pierre de Fermat zitiert. Nur nach und nach etabliert sich das indisch-arabische Zahlensystem auch in Europa. Erst unter den Gelehrten in Italien und unter Kaufleuten und Notaren, die das Wissen vom Mittelmeerraum in den Norden tragen. Mit der Verbreitung des Buchdrucks im 15. Jahrhundert setzt sich das System im westlichen Europa dann endgültig durch und wird ab dem 16. und 17. Jahrhundert auch in Osteuropa übernommen. Und diese ganze Entwicklung, die wird in Europa eben maßgeblich durch Fibonacci und sein „Liber Abaci“ mit angestoßen. Berühmt wird Fibonacci aber gar nicht für die Verbreitung des indisch-arabischen Zahlensystems in Europa, sondern für ein Gedankenexperiment, das er im „Liber Abaci“ beschreibt. Und das hat mit Kaninchen zu tun. Manon, ich will natürlich wissen und unsere ZuhörerInnen bestimmt auch, warum dieses Gedankenexperiment so berühmt wird, dass wir es heute noch kennen. Aber eins nach dem anderen. Also was hat es mit dieser Kaninchenaufgabe auf sich? Was hat sich Fibonacci da überlegt? Also Folgendes ist die Idee: Angenommen, Kaninchen bräuchten einen Monat, um geschlechtsreif zu werden und sorgten von da an für Nachwuchs. Sie sind dann einen Monat lang trächtig und bringen immer wieder nur ein weiteres Kaninchenpärchen zur Welt. Ist jetzt nicht super realistisch, aber das nehmen wir jetzt einfach mal so hin. Das neue Kaninchenpaar kann dann im Alter von einem Monat selbst wieder Nachwuchs produzieren. Und die Eltern zeugen selbst auch wieder Nachwuchs. Wie viele Kaninchen hat man dann nach einem Jahr? Verdammt viele! Das klingt wie eine richtig fiese Textaufgabe in so einem Mathebuch. Also ich müsste mich jetzt richtig konzentrieren, um das auch nicht zu genau zu nehmen, weil es ist ja nur hypothetisch. Spielt ja keine Rolle, dass Kaninchen eigentlich eher so fünf bis acht Junge bekommen im Schnitt. Also ein Kaninchenpaar, das zeugt nach zwei Monaten Nachwuchs. Dann ist das Weibchen trächtig. Um das ernsthaft auszurechnen, würde ich halt versuchen, da irgendwie schrittweise vorzugehen. Das würde ich bei einem solchen Problem tatsächlich auch empfehlen. Also ich würde zum Beispiel erst mal ein paar Beispielrechnungen machen. Also anfangs gibt es nur ein Paar. Nach einem Monat zeugen sie Nachwuchs. Dann ist das Weibchen einen Monat lang trächtig. Am Ende des zweiten Monats, also im dritten Monat, kommt dann der Nachwuchs. Okay, verstehe ich soweit. Im dritten Monat gibt es also zwei Paare und vorher gab es nur ein Paar. Und direkt nach dem Wurf machen die Kanincheneltern natürlich weiter. Und nach Ablauf des dritten Monats hat das erste Pärchen wieder Nachwuchs produziert. Jetzt wissen wir, woher der Ausdruck „wie die Kaninchen“ kommt. Okay, Paar eins macht sofort weiter, während das zweite Paar aber noch nicht geschlechtsreif ist zu dem Zeitpunkt. Genau, die werden nämlich erst nach einem Monat geschlechtsreif und fangen nach dem dritten Monat erst an, sich vorzupflanzen. Das heißt, im vierten Monat gibt es also drei Kaninchenpaare: das alte geschlechtsreife Pärchen und zweimal deren Nachwuchs. Und die ältesten Nachwuchskinder, die sind dann aber wohl auch schon wieder trächtig. Richtig. Nach Ablauf des vierten Monats hat dann das erste Pärchen wieder Nachwuchs gezeugt, deren älteste Kinder aber auch. Okay, dann gibt es also schon drei plus zwei, also fünf Kaninchenpaare im fünften Monat. Und wir ignorieren hier jetzt auch mal einfach, dass sich die Geschwister fortpflanzen und welche genetischen Folgen das haben könnte. Ja, besser ist es. Aber jedenfalls kannst du immer so weitermachen, Schritt für Schritt, und für jeden Monat eines Jahres halt die Anzahl an Kaninchenpärchen aufschreiben. Das ergibt dann am Ende eine schöne Zahlenfolge. Also ich sage dir die jetzt einfach mal: Eins, eins, zwei, drei, fünf, acht, 13, 21, 34, 55, 89 und 144. Also haben wir nach einem Jahr 144 Kaninchenpaare. Laut Fibonacci ist die Überlegung schon. Also ich meine, das spiegelt natürlich nicht die Realität wider. Kaninchen brauchen zum Beispiel zwischen drei und sechs Monaten, bis sie geschlechtsreif sind. Und wie du auch schon gesagt hast, haben die in der Regel auch echt mehr Nachwuchs pro Wurf. Und außerdem sollte man auf jeden Fall Inzucht vermeiden. Ja, das ist eine gute Idee. Aber gehen wir mal lieber wieder weg von der Biologie, mit der ich mich sowieso so gar nicht auskenne, und kehren wir zurück zu Zahlen. Also ich habe dir ja eben die Zahlenfolge von Fibonacci genannt. Also eins, eins, zwei, drei, fünf, acht, 13 und so weiter. Fällt dir da irgendwas auf? Okay, lass mich überlegen. Es geht los mit eins, eins, zwei, drei. Die ersten beiden Zahlen, also eins und eins, ergeben zusammen addiert schon mal die dritte Zahl, die zwei. Da habe ich das Gefühl, ich bin da was auf der Spur. Und zwei plus die eins davor ergibt die drei. Das ist die vierte Zahl der Reihe. Dann kommt als nächstes die fünf. Also es wirkt schon so, als wäre eine Zahl aus der Reihe immer die Summe der zwei Zahlen davor. Also eins, eins, zwei, drei, so weit waren wir. Und dann würde es bedeuten, als nächstes zwei plus drei, das ist fünf. Die nächste Zahl ist der Reihe dann drei plus fünf, das sind acht. Und wenn ich mich nicht irre, dann ist acht auch tatsächlich die nächste Zahl. Also ja, ich glaube, ich habe recht. Stimmt. Das war der perfekte Beweis. Genau, also das ist die Fibonacci-Folge. Um die nächsten Zahlen der Folge auszurechnen, muss man einfach nur die zwei letzten Zahlen addieren, wie du gesagt hast. Also eigentlich recht easy. Ja, wirklich. Also das finde ich sehr schön. Verständliche Mathematik, das liebe ich doch. Aber wenn die Fibonacci-Folge nicht wirklich das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschreibt, wieso ist dann die Folge überhaupt berühmt? Was kann die denn außer, dass man sie sich ganz gut merken kann? Das ist eine gute Frage. Also tatsächlich hat die super spannende Eigenschaften, wie sie sich später herausgestellt hat. Und eine davon hat mit dem goldenen Schnitt zu tun. Ah ja, okay. Dafür muss man nicht mal Mathematikerin sein, um davon schon mal gehört zu haben. Das sagt mir auch als Kulturwissenschaftlerin was. Und ich glaube, der ist auch schon mal aufgetaucht in der Folge über dieses Integralphänomen Clio. Der goldene Schnitt, das ist ein besonderes Längenverhältnis, das für uns Menschen scheinbar super ästhetisch wirkt. Künstler wie zum Beispiel Leonardo Da Vinci haben das bei ihren Gemälden auch genutzt. Der goldene Schnitt ist ein Längenverhältnis, das ungefähr 1,618 entspricht. Also ganz grob gerundet ist es ungefähr ein Drittel zu zwei Drittel. Aber der goldene Schnitt ist streng genommen nicht nur 1,618, sondern 1,618033988749 und so weiter. Also es ist eine irrationale Zahl, also mit unendlich vielen Nachkommastellen. Okay, und dieser goldene Schnitt, also irrationale Zahl, das ist dann wie Pi zum Beispiel. Genau so. Also irrationale Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass man sie eben nicht als Bruchzahl aufschreiben kann. Und sie haben unendlich viele Stellen hinterm Komma. Und die Zahlen wiederholen sich halt auch nie. Okay, aber es fällt mir jetzt schwer, den Zusammenhang zu der Fibonacci-Folge zu sehen. Das ist ja eine Folge mit ganzen Zahlen. Was haben die denn jetzt mit dem goldenen Schnitt zu tun? Also wenn du das Verhältnis von je zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen bildest, dann rückt das Ergebnis immer näher an den goldenen Schnitt heran, je weiter man in der Fibonacci-Folge vordringt. Also zum Beispiel: 1 durch 1 ist einfach nur 1, das ist eher weit weg vom goldenen Schnitt. 2 durch 1 ist 2, auch keine besonders gute Näherung. Dann kommt man jetzt schon zu 3 durch 2, 1,5, schon mal ein bisschen näher. Dann haben wir 5 durch 3, das ist 1,66666, auch ein bisschen näher. Und dann 8 durch 5, das ist 1,6, ganz genau. Und danach kommt 13 durch 8, und das ist 1,625. Naja, und wenn man jetzt noch ein bisschen weitergeht, ich überspringe mal ein paar Termine, und wir nehmen zum Beispiel 144 durch 89, dann kriegt man 1,6179. Und das ist schon ziemlich nah am goldenen Schnitt mit 1,6180. Und tatsächlich kann man das mathematisch auch wirklich beweisen. Also dass, wenn man diese Berechnungen endlich weiterführt, dass man dann exakt beim goldenen Schnitt landen würde. Okay, das ist irgendwie ziemlich cool. Also es erscheint mir persönlich jetzt absolut sinnlos, aber es ist irgendwie ein cooles Phänomen. Also ja, okay. Aber was ich jetzt sehr viel spannender finde, ist der goldene Schnitt, der sich ja aus der Fibonacci-Folge ergibt. Das ist die irrationalste Zahl von allen. Okay, bevor mir jetzt das Hirn aus dem Kopf fliegt, noch mal ganz langsam für mich. Die Zahlen auf einem Zahlenstrahl, die setzen sich aus ganzen Zahlen zusammen, plus die Bruchzahlen. Und dann auch aus irrationalen, wie Pi oder Wurzel 2, die eben nicht als Bruch darstellbar sind. Richtig. Aber dann ist doch eine Zahl entweder eine Bruchzahl, eine ganze Zahl oder irrational. Wie kann es denn dann die irrationalste aller Zahlen geben? Ja, das macht es so cool. Also ich muss zugeben, dass als ich das zum ersten Mal gehört habe, ich mich auch total gewundert habe. Aber tatsächlich lässt sich das ganz gut erklären. Also im Prinzip kann man irrationale Zahlen durch Brüche zumindest annähern. Also Pi ist zum Beispiel ungefähr 22 Siebtel. Das hast du vielleicht schon mal gehört. Und den goldenen Schnitt haben wir uns vorhin durch den Bruch aus zwei Zahlen der Fibonacci-Folge angenähert. Aber wie es sich herausstellt, kann man nicht alle irrationalen Zahlen gleich gut durch einen einfachen Bruch nähern. Also für Pi klappt das wunderbar. 22 Siebtel ist ein easy Bruch und weicht erst in der dritten Nachkommastelle von Pi wirklich ab. Noch überzeugender ist aber der Bruch 355 durch 113. Erst in der sechsten Nachkommastelle unterscheidet sich der Bruch von Pi. Und wie ist das für den goldenen Schnitt? Für den gibt es keine so einfachen Näherungen. Möchte man durch Bruchzahlen an den goldenen Schnitt rankommen, wachsen die in den Brüchen vorkommenden ganzen Zahlen super schnell an, weil halt auch die Zahlen der Fibonacci-Folge schnell sehr groß werden. Der goldene Schnitt lässt sich also nur sehr schlecht durch Brüche nähern und gehört damit aus mathematischer Sicht zu den irrationalsten Zahlen überhaupt. Aber das konnte Fibonacci alles zu seiner Zeit noch gar nicht wissen. Fibonacci war seiner Zeit offenbar einen Schritt voraus, zumindest seiner Zeit in Europa, also dem Mittelalter. Er hat nicht erlebt, wie das mathematische Wissen, das er gesammelt hat, sich in ganz Europa verbreitet und wie sein lieber Abacchi letztendlich ein neues Zeitalter der Mathematik einleitet. Ich hatte ja vorhin schon mal kurz auf Florence Nightingale verwiesen. Die hat mit ihrem gesammelten Wissen zur modernen Krankenpflege die Pflegeschule Nightingales School of Nursing gegründet und damit die Krankenpflegeausbildung professionalisiert. Und Fibonacci, der hat mit seinem gesammelten Wissen eben die Mathematik in Europa revolutioniert. Und mit dem lieber Abacchi schafft er ein mathematisches Standardwerk, mit dem vom frühen 13. Jahrhundert bis ins 16. Jahrhundert hinein angehende Kaufleute in Rechenschulen ausgebildet worden sind. Sowohl Nightingales als auch Fibonaccis Geschichte zeigt uns also, wissenschaftliche Durchbrüche leben vom Austausch. Und manchmal braucht es nur eine neugierige Person, um das Wissen, das schon in der Welt herumschwirrt, miteinander zu verbinden. Und damit sind wir am Ende dieser Geschichte aus der Mathematik. Dankeschön, dass ihr wieder bis zum Ende zugehört habt. Viele Grüße aber auch an diejenigen, die zumindest die Futurama Folge erst mal nicht bis zum Ende gehört haben, weil sie nämlich selbst rausfinden wollten, was die Lösung des Körpertauschproblems ist. Dieser Ehrgeiz hat uns echt sehr beeindruckt. Aber ob ihr nun Mathe-Crack seid wie Manon und Demian oder wie ich ein bisschen Starthilfe braucht, um euch von Mathematik faszinieren zu lassen, ihr seid natürlich alle willkommen. Deshalb schaltet auch gerne in zwei Wochen wieder ein, wenn es um einen Experten für Computergrafik gehen wird, der 2019 nicht nur mit dem Turing Award ausgezeichnet wurde, sondern der auch drei Academy Awards, also Oscars, für seine technischen Errungenschaften in der Filmindustrie gewonnen hat. Also bis in zwei Wochen. Macht’s gut und bleibt neugierig. Geschichten aus der Mathematik ist eine Kooperation vom Podcast Radio detektor.fm und Spektrum der Wissenschaft. Die Idee für den Podcast und die Story kommen von Demian Nauel Groß. Die Mathematik erklärt hat Manon Bischoff. Die Redaktion und die Moderation habe ich übernommen, Carolin Breitschädel. In der Redaktion unterstützt haben mich Demian Nauel Groß, Manon Bischoff und Gerolf Mayer. Die Musik kommt von Tim Schmutzler. Die Folge produziert hat Stanley Baldauf. Alle Folgen findet ihr auf detektor.fm und spektrum.de. Untertitel im Auftrag des ZDF für funk 2017.
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